Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và đi qua ba điểm A, B, C

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz. Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z - 1 = 0\) và ba điểm \(A\left( {1;1;0} \right),\,\,B\left( { - 1;0;1} \right),\,\,C\left( {0;2;1} \right).\) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và đi qua ba điểm A, B, C.
A. \({\left( {x + \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\)
B. \({\left( {x - \frac{7}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{5}{2}} \right)^2} = \frac{{443}}{{36}}.\)
C. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\)
D. \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y + \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}.\)

Gọi tâm mặt cầu \(I\left( {a;b;c} \right).\) Mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C nên có: \(IA = IB = IC.\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b; - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IA} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2} + {c^2}} \\\overrightarrow {IB} = \left( { - 1 - a; - b;1 - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 + a} \right)}^2} + {b^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \\\overrightarrow {IC} = \left( {a;2 - b; - c} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {IC} } \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2} + {{\left( {1 - c} \right)}^2}} \end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b - c = 0\\2{\rm{a}} - 2b - 2c = - 3\end{array} \right.\)
Vì \(I \in \left( P \right)\) nên ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{a}} + b - c = 0\\2{\rm{a}} - 2b - 2c = - 3\\a + 2b - c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{6}\\b = \frac{5}{6}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy mặt cầu tâm \(I\left( { - \frac{1}{6};\frac{5}{6};\frac{1}{2}} \right),\,\,R = \frac{{\sqrt {59} }}{6}\) có PT là: \({\left( {x + \frac{1}{6}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{6}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{59}}{{36}}\)