Giới thiệu: Tuyển tập chuyên đề tích phân và số phức trích từ đề thi thử có nhiều câu vận dụng cao
Ta dùng kí hiệu \(\left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) - F(a)\) để chỉ hiệu số \(F(b) - F(a)\). Vậy \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) - F(a)} \).
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) hay \(\int\limits_a^b {f(t)dt} .\) Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ thì tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \)là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a,x = b.\) Vậy \(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} .\)
2. Tính chất của tích phân
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b'i.
z = z’ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: \(\left\{ \begin{array}{l}z + z' = (a + a') + (b + b')i\\z - z' = (a - a') + (b - b')i\end{array} \right.\)
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: \(zz' = aa' - bb' + (ab' - a'b)i\)
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức \(\overline z \) = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy \(\overline z \) = \(\overline {a + bi} \)= a - bi
Chú ý:
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu \(\left| z \right|\) là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a$^2$ + b$^2$ > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z$^{-1}$= \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\overline z = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z \)
Thương \(\frac{{z'}}{z}\)của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: \(\frac{{z'}}{z} = z.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
A. Trích dẫn tích phân
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}.$ Giả sử F là một nguyên hàm của ftrên ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}.$ Hiệu số \(F(b) - F(a)\) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ của hàm số \(f(x),\)kí hiệu là \(\int\limits_a^b {f(x)dx} .\)Ta dùng kí hiệu \(\left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) - F(a)\) để chỉ hiệu số \(F(b) - F(a)\). Vậy \(\int\limits_a^b {f(x)dx = \left. {F(x)} \right|_a^b = F(b) - F(a)} \).
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \) hay \(\int\limits_a^b {f(t)dt} .\) Tích phân đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn ${\rm{[}}a;b{\rm{]}}$ thì tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} \)là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a,x = b.\) Vậy \(S = \int\limits_a^b {f(x)dx} .\)
2. Tính chất của tích phân
- \(\int\limits_a^a {f(x)dx = 0} \)
- \(\int\limits_a^b {f(x)dx = - \int\limits_b^a {f(x)dx} } \)
- $\int\limits_a^b {f(x)dx + } \int\limits_b^c {f(x)dx = \int\limits_a^c {f(x)dx} } $ với a < b < c
- \(\int\limits_a^b {k.f(x)dx = k.\int\limits_a^b {f(x)dx} } {\rm{ }}(k \in \mathbb{R})\)
- \(\int\limits_a^b {[f(x) \pm g(x)]dx = \int\limits_a^b {f(x)dx} \pm } \int\limits_a^b {g(x)dx} \).
B. Số phức
1. Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thoả mãn i$^2$ = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .- i được gọi là đơn vị ảo
- a được gọi là phần thực. Ký hiệu Re(z) = a
- b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b
- Tập hợp các số phức ký hiệu là C.
- Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.
- Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.
Cho z = a + bi và z’ = a’ + b'i.
z = z’ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.$
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(a;b) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(a;b) biểu diễn một số phức là z = a + bi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: \(\left\{ \begin{array}{l}z + z' = (a + a') + (b + b')i\\z - z' = (a - a') + (b - b')i\end{array} \right.\)
5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: \(zz' = aa' - bb' + (ab' - a'b)i\)
6. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức \(\overline z \) = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Vậy \(\overline z \) = \(\overline {a + bi} \)= a - bi
Chú ý:
- \(\overline {\overline z } \) = z ⇒ z và \(\overline z \) gọi là hai số phức liên hợp với nhau.
- z.\(\overline z \) = a$^2$ + b$^2$
- \(\overline{\overline z} = z\)
- $\overline {z + z'} = \overline z + \overline {z'} $
- $\overline {z.z'} = \overline z .\overline {z'} $
- z.\(\overline z \)= \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)(z = a + bi )
Cho số phức z = a + bi . Ta ký hiệu \(\left| z \right|\) là môđun của số phư z, đó là số thực không âm được xác định như sau:
- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì \(\left| z \right|\) = $\left| {\overrightarrow {OM} } \right|$ =\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
- Nếu z = a + bi, thì \(\left| z \right|\) = \(\sqrt {z.\overline z } \)=\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a$^2$ + b$^2$ > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số
z$^{-1}$= \(\frac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\overline z = \frac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z \)
Thương \(\frac{{z'}}{z}\)của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: \(\frac{{z'}}{z} = z.{z^{ - 1}} = \frac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}}\)
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
Sửa lần cuối: