Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác\(ABC\) có\(A\left( {1,2, - 1} \right)\),\(B\left( { - 2,1,0} \right)\),\(C\left( {2,3,2} \right)\). Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {OGB} \right)\) bằng bao nhiêu ?
A.\(\frac{{3\sqrt {174} }}{{29}}\)
B. \(\frac{{\sqrt {174} }}{{29}}\)
C. \(\frac{{2\sqrt {174} }}{{29}}\)
D. \(\frac{{4\sqrt {174} }}{{29}}\)
A.\(\frac{{3\sqrt {174} }}{{29}}\)
B. \(\frac{{\sqrt {174} }}{{29}}\)
C. \(\frac{{2\sqrt {174} }}{{29}}\)
D. \(\frac{{4\sqrt {174} }}{{29}}\)
Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(\Delta ABC \Rightarrow G\left( {\frac{1}{3},2,\frac{1}{3}} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là một vtpt của mặt phẳng \(\left( {OGB} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {OG} \wedge \overrightarrow {OB} = \left( { - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3},\frac{{13}}{3}} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {OGB} \right):x + 2y - 13z = 0\)\( \Rightarrow \)\(d\left( {A,\left( {OGB} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {174} }}{{29}}\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là một vtpt của mặt phẳng \(\left( {OGB} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow {OG} \wedge \overrightarrow {OB} = \left( { - \frac{1}{3}, - \frac{2}{3},\frac{{13}}{3}} \right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( {OGB} \right):x + 2y - 13z = 0\)\( \Rightarrow \)\(d\left( {A,\left( {OGB} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {174} }}{{29}}\)
