Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là giao điểm của AC và BD. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
A. $2{a^3}\sqrt 3 $.
B. $4{a^3}\sqrt 3 $.
C. $6{a^3}\sqrt 3 $.
D. $8{a^3}\sqrt 3 $.
Gọi M là trung điểm của CD
trong $\Delta SOM$ kẻ đường cao OH.
$ \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow OH = a$.
Đặt $CM = x$. Khi đó $OM = x$, $SM = x\sqrt 3 $,
$SO = \sqrt {S{M^2} - {x^2}} = x\sqrt 2 $.
Ta có: SM.OH = SO.OM
$ \Leftrightarrow x\sqrt 3 .a = x\sqrt 2 .x \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
$ \Rightarrow CD = a\sqrt 6 ,\,SO = a\sqrt 3 $ a
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.C{D^2}.SO = \frac{1}{3}.6{a^2}.a\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3 $.
A. $2{a^3}\sqrt 3 $.
B. $4{a^3}\sqrt 3 $.
C. $6{a^3}\sqrt 3 $.
D. $8{a^3}\sqrt 3 $.
Gọi M là trung điểm của CD
trong $\Delta SOM$ kẻ đường cao OH.
$ \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow OH = a$.
Đặt $CM = x$. Khi đó $OM = x$, $SM = x\sqrt 3 $,
$SO = \sqrt {S{M^2} - {x^2}} = x\sqrt 2 $.
Ta có: SM.OH = SO.OM
$ \Leftrightarrow x\sqrt 3 .a = x\sqrt 2 .x \Rightarrow x = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$
$ \Rightarrow CD = a\sqrt 6 ,\,SO = a\sqrt 3 $ a
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.C{D^2}.SO = \frac{1}{3}.6{a^2}.a\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3 $.