Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, $AC = 2\sqrt 3 a$, BD = 2a , hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.
A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$.
B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}$.
C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.
Ta có tam giác ABO vuông tại O và $AO = a\sqrt 3 $,
$BO = a$. Do đó $\frac{{AO}}{{BO}} = \sqrt 3 = \tan {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} = {60^0}$.
Suy ra $\Delta ABD$ đều.
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Trong tam giác đều ABD, gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm BH, suy ra $DH \bot AB$ và $DH = a\sqrt 3 $; $OK//DH$ và $OK = \frac{1}{2}DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Suy ra $OK \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOK} \right)$.
Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:$OI \bot SK;\,AB \bot OI \Rightarrow OI \bot \left( {SAB} \right)$.$ \Rightarrow OI = d\left[ {O;\,\,\left( {SAB} \right)} \right]$.
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao: $\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \frac{a}{2}$.
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.4.{S_{\Delta ABO}}.SO = \frac{1}{3}.4.\frac{1}{2}.OA.OB.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
A. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}$.
B. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}$.
C. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$.
D. $\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.
Ta có tam giác ABO vuông tại O và $AO = a\sqrt 3 $,
$BO = a$. Do đó $\frac{{AO}}{{BO}} = \sqrt 3 = \tan {60^0} \Rightarrow \widehat {ABO} = {60^0}$.
Suy ra $\Delta ABD$ đều.
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)$.
Trong tam giác đều ABD, gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm BH, suy ra $DH \bot AB$ và $DH = a\sqrt 3 $; $OK//DH$ và $OK = \frac{1}{2}DH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.
Suy ra $OK \bot AB \Rightarrow AB \bot \left( {SOK} \right)$.
Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:$OI \bot SK;\,AB \bot OI \Rightarrow OI \bot \left( {SAB} \right)$.$ \Rightarrow OI = d\left[ {O;\,\,\left( {SAB} \right)} \right]$.
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao: $\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} \Rightarrow SO = \frac{a}{2}$.
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.4.{S_{\Delta ABO}}.SO = \frac{1}{3}.4.\frac{1}{2}.OA.OB.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$