Cho hình nón có chiều cao H. Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình nón theo H.
A. \(x = \frac{h}{2}\).
B. \(x = \frac{h}{3}\).
C. \(x = \frac{{2h}}{3}\).
D. \(x = \frac{h}{{\sqrt 3 }}\).
A. \(x = \frac{h}{2}\).
B. \(x = \frac{h}{3}\).
C. \(x = \frac{{2h}}{3}\).
D. \(x = \frac{h}{{\sqrt 3 }}\).
Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm. O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I . OA là một đường sinh của hình nón, \(B\) là điểm chung của OA với khối trụ. Ta có: \(\frac{r}{R} = \frac{{h - x}}{h} \Rightarrow r = \frac{R}{h}(h - x)\).
Thể tích khối trụ là: \(V = \pi x{R^2} = \pi x\frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2}\)
Xét hàm số \(V(x) = \pi x\frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2},\,\,0 < x < h\).
Ta có \(V'(x) = \pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}(h - x)(h - 3x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}\,\,{\rm{hay}}\,x = h.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là \(x = \frac{h}{3}\); \({V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^2}h}}{{27}}\).
Thể tích khối trụ là: \(V = \pi x{R^2} = \pi x\frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2}\)
Xét hàm số \(V(x) = \pi x\frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}{(h - x)^2},\,\,0 < x < h\).
Ta có \(V'(x) = \pi \frac{{{R^2}}}{{{h^2}}}(h - x)(h - 3x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{h}{3}\,\,{\rm{hay}}\,x = h.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là \(x = \frac{h}{3}\); \({V_{\max }} = \frac{{4\pi {R^2}h}}{{27}}\).