Tìm giá trị nhỏ nhất V của thể tích khối tứ diện OABC

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Phẳng |
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1). Mặt phẳng (P) thay đổi di qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất V của thể tích khối tứ diện OABC.
A. V=54
B. V=6
C. V=9
D. V=18

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right),\) khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)
Mà \(M\left( {1;2;1} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\).
Theo bất đẳng thức Cosi, ta có \(1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \Leftrightarrow abc \ge 54\)
Thể tích của khối tứ diện O.ABC bằng \({V_{O.ABC}} = \frac{{abc}}{6} \ge 9.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của khối tứ diện O.ABC là 9.