Sử dụng casio tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là bài toán quan trọng. Bài này sẽ hướng dẫn các bạn sử dụng::
1) PHƯƠNG PHÁP
Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác \(\sin x,\cos x,\tan x...\) ta chuyển máy tính về chế độ Radian
2) VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.[ Đề thi thử toán chuyên KHTN – HN lần 2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)
A. \(\max = \frac{{67}}{{27}}\)
B. max = - 2
C. max = - 7
D. max = - 4
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 1 End \(3\) Step \(\frac{{3 - 1}}{{19}}\)
Quan sát bảng giá trị F(x) ta thấy giá trị lớn nhất F(x) có thể đạt được là \(f\left( 3 \right) = - 2\)
Vậy \(\max = - 2\) , dấu = đạt được khi \(x = 3\) \( \Rightarrow \) Đáp số chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận
Tính đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 4x - 4\) , \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên ta kết luận \(\max = f\left( 3 \right) = - 2\)
Bình luận:
Qua ví dụ 1 ta đã thấy ngay sức mạnh của máy tính Casio, việc tìm Max chỉ cần quan sát bảng giá trị là xong.
Phương pháp tự luận tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được tiến hành theo 3 bước:
Ví dụ 2. [Đề thi thử toán chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1] Hàm số \(y = \left| {3\cos x - 4\sin x + 8} \right|\) với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) . Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khi đó tổng \(M + m\) bằng bao nhiêu ?
A. \(8\sqrt 2 \)
B. \(7\sqrt 3 \)
C. \(8\sqrt 3 \)
D. \(16\)
Ta thấy giá trị nhỏ nhất \(F\left( X \right)\) có thể đạt được là \(f\left( {2.314} \right) = 3.0252 \approx 3 = m\)
Vậy \(M + m = 16 \Rightarrow \) Đáp số D là chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :
\({\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25\)
\( \Rightarrow \left| {3\cos x - 4\sin x} \right| \le 5 \Leftrightarrow - 5 \le 3\cos x - 4\sin x \le 5 \Leftrightarrow 3 \le 3\cos x - 4\sin x = 8 \le 13\)
Vậy \(3 \le \left| {3\cos x - 4\sin x + 8} \right| \le 13\)
Bình luận:
A. \( - 5\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \( - 2\)
Ta hiểu nếu giá trị nhỏ nhất của \(y = - \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) có nghĩa là phương trình \(y + \frac{1}{3} = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\)
Thử nghiệm đáp án A với \(m = - 5\) ta thiết lập \(\frac{{ - 10x + 1}}{{ - 5 - x}} + \frac{1}{3} = 0\) . Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
Ta thấy khi \(y = \frac{1}{3}\) thì \(x = - 0.064...\) không phải là giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) vậy đáp án A sai
Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với \(m = 0\) khi đó \(y\) có dạng \(\frac{1}{{ - x}}\)
Ta thấy khi \(y = \frac{1}{3}\) khi \(x = 3\) là giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) \( \Rightarrow \) đáp án C chính xác
Cách 2: tham khảo: Tự luận
Tính đạo hàm \(y' = \frac{{2m\left( {m - x} \right) - \left( {2mx + 1} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {m - x} \right)}^2}}} = \frac{{2{m^2} + 1}}{{{{\left( {m - x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in D\)
\( \Rightarrow \) Hàm \(y\) luôn đồng biến
\( \Rightarrow \) Hàm \(y\) đạt giá trị lớn nhất tại cận trên \(x = 3\)
Vậy \(y\left( 3 \right) = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{6m + 1}}{{m - 3}} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m = 0\)
Bình luận:
Bài tập Tự giải:
Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{{e^x}}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó
A. \(M = \frac{1}{e};m = 0\)
B. \(M = e;m = 0\)
C. \(M = e,m = \frac{1}{e}\)
D. \(M = e;m = 1\)
Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ]
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \)
A. \(M = 3\)
B. \(M = 3\sqrt 2 \)
C. \(M = 2\sqrt 3 \)
D. \(M = 2 + \sqrt 3 \)
Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ]
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} - 7\)
A. \(\min y = - 5\)
B. \(\min y = - 7\)
C. \(\min y = - 3\)
D. Không tồn tại \(\min \)
Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x + m}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên \(\left[ { - 2;6} \right]\)
A. \(m = \frac{2}{6}\)
B. \(m = - \frac{4}{5}\)
C. \(m = \frac{3}{4}\)
D. \(m = \frac{6}{7}\)
Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 ]
Gọi \(M,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì :
A. \(M = 19;m = 1\)
B. \(M = 0;m = - 19\)
C. \(M = 0;m = - 19\)
D. Kết quả khác
Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 ]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \) là :
A. \(\min y = 0\)
B. \(\min y = 1\)
C. \(\min y = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \)
D. Không tồn tại GTNN
Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ]
Cho hàm số \(y = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng :
A. 1.
B. 7
C. - 1
D. 3
Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP ]
Gọi \(M,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{m^2} - 4M} \right)^{2016}}\) là :
A. 0
B. \({e^{2016}}\)
C. 1
D. \({2^{2016}}\)
1) PHƯƠNG PHÁP
- Bước 1: Để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên miền \(\left[ {a;b} \right]\) ta sử dụng máy tính Casio với lệnh MODE 7 (Lập bảng giá trị)
- Bước 2: Quan sát bảng giá trị máy tính hiển thị, giá trị lớn nhất xuất hiện là max , giá trị nhỏ nhất xuất hiện là min
- Chú ý:
Khi đề bài liên có các yếu tố lượng giác \(\sin x,\cos x,\tan x...\) ta chuyển máy tính về chế độ Radian
2) VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.[ Đề thi thử toán chuyên KHTN – HN lần 2] Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^3} - 2{x^2} - 4x + 1\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)
A. \(\max = \frac{{67}}{{27}}\)
B. max = - 2
C. max = - 7
D. max = - 4
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIO
Sử dụng chức năng MODE 7 của máy tính Casio với thiết lập Start 1 End \(3\) Step \(\frac{{3 - 1}}{{19}}\)
Quan sát bảng giá trị F(x) ta thấy giá trị lớn nhất F(x) có thể đạt được là \(f\left( 3 \right) = - 2\)
Vậy \(\max = - 2\) , dấu = đạt được khi \(x = 3\) \( \Rightarrow \) Đáp số chính xác là B
Cách tham khảo: Tự luận
Tính đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 4x - 4\) , \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Lập bảng biến thiên
Nhìn bảng biến thiên ta kết luận \(\max = f\left( 3 \right) = - 2\)
Bình luận:
Qua ví dụ 1 ta đã thấy ngay sức mạnh của máy tính Casio, việc tìm Max chỉ cần quan sát bảng giá trị là xong.
Phương pháp tự luận tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được tiến hành theo 3 bước:
- Bước 1: Tìm miền xác định của biến x.
- Bước 2: Tính đạo hàm và xác định khoảng đồng biến nghịch biến.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên, nhìn vào bảng biến thiên để kết luận
Ví dụ 2. [Đề thi thử toán chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1] Hàm số \(y = \left| {3\cos x - 4\sin x + 8} \right|\) với \(x \in \left[ {0;2\pi } \right]\) . Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . Khi đó tổng \(M + m\) bằng bao nhiêu ?
A. \(8\sqrt 2 \)
B. \(7\sqrt 3 \)
C. \(8\sqrt 3 \)
D. \(16\)
Hướng dẫn giải
Để tính toán các bài toán liên quan đến lượng giác ta chuyển máy tính về chế độ RadianTa thấy giá trị nhỏ nhất \(F\left( X \right)\) có thể đạt được là \(f\left( {2.314} \right) = 3.0252 \approx 3 = m\)
Vậy \(M + m = 16 \Rightarrow \) Đáp số D là chính xác
Cách tham khảo: Tự luận
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được :
\({\left( {3\cos x - 4\sin x} \right)^2} \le \left( {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = 25\)
\( \Rightarrow \left| {3\cos x - 4\sin x} \right| \le 5 \Leftrightarrow - 5 \le 3\cos x - 4\sin x \le 5 \Leftrightarrow 3 \le 3\cos x - 4\sin x = 8 \le 13\)
Vậy \(3 \le \left| {3\cos x - 4\sin x + 8} \right| \le 13\)
Bình luận:
- Nếu bài toán liên quan đến các đại lượng lượng giác ta nên chuyển máy tính về chế độ Radian để được kết quả chính xác nhất.
- Trong Bất đẳng thức Bunhiacopxki có dạng \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{x} = \frac{b}{y}\)
A. \( - 5\)
B. \(1\)
C. \(0\)
D. \( - 2\)
Hướng dẫn giải
Cách 1: CASIOTa hiểu nếu giá trị nhỏ nhất của \(y = - \frac{1}{3}\) trên đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) có nghĩa là phương trình \(y + \frac{1}{3} = 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\)
Thử nghiệm đáp án A với \(m = - 5\) ta thiết lập \(\frac{{ - 10x + 1}}{{ - 5 - x}} + \frac{1}{3} = 0\) . Sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE
Ta thấy khi \(y = \frac{1}{3}\) thì \(x = - 0.064...\) không phải là giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) vậy đáp án A sai
Tương tự như vậy ta thấy đáp án C đúng với \(m = 0\) khi đó \(y\) có dạng \(\frac{1}{{ - x}}\)
Ta thấy khi \(y = \frac{1}{3}\) khi \(x = 3\) là giá trị thuộc đoạn \(\left[ {2;3} \right]\) \( \Rightarrow \) đáp án C chính xác
Cách 2: tham khảo: Tự luận
Tính đạo hàm \(y' = \frac{{2m\left( {m - x} \right) - \left( {2mx + 1} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {m - x} \right)}^2}}} = \frac{{2{m^2} + 1}}{{{{\left( {m - x} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \in D\)
\( \Rightarrow \) Hàm \(y\) luôn đồng biến
\( \Rightarrow \) Hàm \(y\) đạt giá trị lớn nhất tại cận trên \(x = 3\)
Vậy \(y\left( 3 \right) = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{6m + 1}}{{m - 3}} = \frac{{ - 1}}{3} \Leftrightarrow m = 0\)
Bình luận:
- Ta có thể sử dụng máy tính Casio theo VD1 và VD2 với chức năng MODE 7
- Ta thấy với đán án C hàm số \(y = - \frac{1}{x}\) đạt giá trị lớn nhất \( - \frac{1}{3}\) khi \(x = 3\)
Bài tập Tự giải:
Bài 1. [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 ]
Gọi \(M,m\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{{e^x}}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\). Khi đó
A. \(M = \frac{1}{e};m = 0\)
B. \(M = e;m = 0\)
C. \(M = e,m = \frac{1}{e}\)
D. \(M = e;m = 1\)
Bài 2. [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình ]
Tìm giá trị lớn nhất \(M\) của hàm số \(y = \sqrt {x + 3} + \sqrt {6 - x} \)
A. \(M = 3\)
B. \(M = 3\sqrt 2 \)
C. \(M = 2\sqrt 3 \)
D. \(M = 2 + \sqrt 3 \)
Bài 3. [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 ]
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} - 7\)
A. \(\min y = - 5\)
B. \(\min y = - 7\)
C. \(\min y = - 3\)
D. Không tồn tại \(\min \)
Bài 4. [Thi thử THPT Lục Ngạn – Bắc Giang lần 1 ]
Tìm \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx - 4}}{{x + m}}\) đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên \(\left[ { - 2;6} \right]\)
A. \(m = \frac{2}{6}\)
B. \(m = - \frac{4}{5}\)
C. \(m = \frac{3}{4}\)
D. \(m = \frac{6}{7}\)
Bài 5. [Thi thử THPT Vũ Văn Hiếu –Nam Định lần 1 ]
Gọi \(M,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 1} \right|\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) thì :
A. \(M = 19;m = 1\)
B. \(M = 0;m = - 19\)
C. \(M = 0;m = - 19\)
D. Kết quả khác
Bài 6. [Thi thử THPT Ngô Gia Tự - Vĩnh Phúc lần 1 ]
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \) là :
A. \(\min y = 0\)
B. \(\min y = 1\)
C. \(\min y = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \)
D. Không tồn tại GTNN
Bài 7. [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 ]
Cho hàm số \(y = 3\sin x - 4{\sin ^3}x\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng :
A. 1.
B. 7
C. - 1
D. 3
Bài 8. [Thi HK1 THPT chuyên Ngoại Ngữ - ĐHSP ]
Gọi \(M,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Giá trị của biểu thức \(P = {\left( {{m^2} - 4M} \right)^{2016}}\) là :
A. 0
B. \({e^{2016}}\)
C. 1
D. \({2^{2016}}\)
Sửa lần cuối: