casio Bài 9: Kỹ thuật casio tìm số nghiệm phương trình logarit

II. VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1: [Thi thử chuyên Khoa Học Tự Nhiên]
Phương trình ${\log _2}x{\log _4}x{\log _6}x = {\log _2}x{\log _4}x + {\log _4}x{\log _6}x + {\log _6}x{\log _2}x$ có tập nghiệm là :
A. $\left\{ 1 \right\}$
B. $\left\{ {2;4;6} \right\}$
C. $\left\{ {1;12} \right\}$
D. $\left\{ {1;48} \right\}$
Cách 1: CASIO
Chuyển phương trình về dạng: ${\log _2}x{\log _4}x{\log _6}x - {\log _2}x{\log _4}x - {\log _4}x{\log _6}x - {\log _6}x{\log _2}x = 0$
Nhập vế trái vào máy tính Casio

Vì giá trị 1 xuất hiện nhiều nhất nên ta kiểm tra xem 1 có phải là nghiệm không. Nếu 1 là nghiệm thì đáp án đúng chỉ có thể là A, C, D. Còn nếu 1 không phải là nghiệm thì đáp án chứa 1 là A, C, D sai dẫn đến B là đáp án đúng.
Ta sử dụng chức năng CALC

Vậy 1 là nghiệm.
Ta tiếp tục kiểm tra giá trị 12 có phải là nghiệm không

Đây là một kết quả khác 0 vậy 12 không phải là nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp án C sai

Tiếp tục kiểm tra giá trị 48 có phải là nghiệm không

Vậy 48 là nghiệm chứng tỏ D là đáp án chính xác.

Cách 2: Tự luận

• Điều kiện x>0
• Trường hợp 1: Với x=1 thì ${\log _2}0 = {\log _4}0 = {\log _6}x = 0$. Thế vào phương trình ban đầu thấy thảo mãn vậy x=1 là 1 nghiệm.
• Trường hợp 2: Với $x > 0;x \ne 1$

Phương trình $ \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_x}2.{{\log }_x}4.{{\log }_x}6}} = \frac{1}{{{{\log }_x}2.{{\log }_x}4}} + \frac{1}{{{{\log }_x}4.{{\log }_x}6}} + \frac{1}{{{{\log }_x}6.{{\log }_x}2}}$
$ \Leftrightarrow 1 = {\log _x}6 + {\log _x}4 + {\log _x}2$
$ \Leftrightarrow 1 = {\log _x}48$
$ \Leftrightarrow x = 48$

Câu 2: [Thi HK1 THPT Liên Hà – Đông Anh]
Tập nghiệm của phương trình ${3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}}}} = 15$ ( là tham số) là :
A. $\left\{ {2;m{{\log }_3}5} \right\}$
B. $\left\{ {2;m + {{\log }_3}5} \right\}$
C. $\left\{ 2 \right\}$
D. $\left\{ {2;m - {{\log }_3}5} \right\}$
Cách 1 : CASIO
Đề bài không cho điều kiện ràng buộc của m nên ta chọn một giá trị m bất kì. Ví dụ m=5 Phương trình trở thành : ${3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - 5}}{{x - 5}}}} = 15 \Leftrightarrow {3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - 5}}{{x - 5}}}} - 15 = 0$

Nhập phương trình vào máy tính Casio

Đáp án nào cũng có 2 nên không cần kiểm tra. Kiểm tra nghiệm $x = m{\log _3}5 = 5{\log _3}5$.

Ra một kết quả khác 0 $ \Rightarrow $ Đáp án A sai

Tương tự tra nghiệm $x = m - {\log _3}5 = 5 - {\log _3}5$

Ra kết quả bằng 0 vậy $ \Rightarrow $ Đáp án chính xác là D

Cách 2 : Tự luận

• Phương trình ${3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}}}} = 15 \Leftrightarrow {3^{x - 1}}{.5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}}}} = {3^1}{.5^1} \Leftrightarrow {5^{\frac{{2x - 2 - m}}{{x - m}} - 1}} = {3^{1 - \left( {x - 1} \right)}}$ $ \Leftrightarrow {5^{\frac{{x - 2}}{{x - m}}}} = {3^{2 - x}}$ (1)
• Logarit hóa hai vế theo cơ số 5. $(1) \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{x - m}} = \left( {2 - x} \right){\log _5}3$

Trường hợp 1: Với $2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 2$
Trường hợp 2: $\frac{1}{{x - m}} = - {\log _5}2 \Leftrightarrow x - m = \frac{1}{{{{\log }_5}2}} \Leftrightarrow x = m - {\log _2}5$

Câu 3: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai Tp.HCM]
Gọi ${x_1}$ và ${x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình ${5^{2x + 1}} - {8.5^x} + 1 = 0$ . Khi đó :
A. ${x_1} + {x_2} = 1$
B. ${x_1} + {x_2} = - 2$
C. ${x_1} + {x_2} = 2$
D. ${x_1} + {x_2} = - 1$

Cách 1 : CASIO SHOLVE+CALC
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Rồi nhấn phím =để lưu lại phương trình =

Vì đáp án không cho 1 giá trị cụ thể nên ta không thể sử dụng được chức năng CALC mà phải sử dụng chức năng dò nghiệm SHIFT SOLVE. Ta dò nghiệm với giá trị x gần 1 chả hạn

Vậy 1 là nghiệm. Ta lưu nghiệm này vào biến A rồi coi đây là nghiệm ${x_1}$

Ta có ${x_1} = A$ Nếu đáp án A là ${x_1} + {x_2} = 1$ đúng thì ${x_2} = 1 - A$ phải là nghiệm. Ta gọi lại phương trình ban đầu rồi CALC với giá trị $1 - A$

Kết quả ra khác 0 vậy 1- A không phải là nghiệm hay đáp án A sai
Tương tự như vậy ta CALC với các giá trị ${x_2}$ của đáp án B, C, D. Cuối cùng ta thấy giá trị -1 -A là nghiệm. $ \Rightarrow $ Vậy đáp số chính xác là D


Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ nhất và lưu vào A

Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B

Ta có A+ B= -1

Cách 3: Tự luận

• Đặt ${5^x} = t$ khi đó ${5^{2x}} = {\left( {{5^x}} \right)^2} = {t^2}$ . Phương trình $ \Leftrightarrow 5{t^2} - 8t + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow t = \frac{{4 \pm \sqrt {11} }}{5}$
• Với $t = \frac{{4 + \sqrt {11} }}{5} \Leftrightarrow {5^x} = \frac{{4 + \sqrt {11} }}{5} \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{{4 + \sqrt {11} }}{5}$ Với $t = \frac{{4 - \sqrt {11} }}{5} \Leftrightarrow {5^x} = \frac{{4 - \sqrt {11} }}{5} \Leftrightarrow x = {\log _5}\frac{{4 - \sqrt {11} }}{5}$
• Vậy ${x_1} + {x_2} = {\log _5}\frac{{4 + \sqrt {11} }}{5} + {\log _5}\frac{{4 + \sqrt {11} }}{5} = {\log _5}\left( {\frac{{4 + \sqrt {11} }}{5}} \right).\left( {\frac{{4 + \sqrt {11} }}{5}} \right) = {\log _5}\frac{1}{5} = - 1$

Câu 4: [Chuyên Vị Thanh – Hậu Giang]
Phương trình ${9^x} - {3.3^x} + 2 = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ $\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ . Giá trị $A = 2{x_1} + 3{x_2}$ là :
A. $4{\log _3}2$
B. 1
C. $3{\log _3}2$
D. $2{\log _2}3$

Cách 1: CASIO SHIFT SLOVE + CALC
Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi nhấn nút để lưu phương trình

Vì chưa biết 2 đáp án , mà 2 đáp án vai trò không bình đẳng trong quan hệ ở đáp án. Nên ta phải sử dụng dò cả 2 nghiệm với chức năng SHIFT SOLVE ở mức độ khó hơn . Đầu tiên ta dò nghiệm trong khoảng dương, chả hạn chọn X gần với 1

Lưu nghiệm này vào giá trị ta được 1 nghiệm.

Vì vừa dò với 1 giá trị dương rồi bây giờ ta dò nghiệm trong khoảng âm, chả hạn chọn X gần -2 . Gọi là phương trình và dò nghiệm

Ta được 1 nghiệm nữa là 0. Vì 0< A nên ${x_1} = 0;{x_2} = A$ ta có $2{x_1} + 3{x_2} = 2.0 + 3.A \approx 1.8927 = 3{\log _3}2$
Vậy đáp số đúng là C

Cách 2 : CASIO 2 LẦN SHIFT SOLVE
Nhập vế trái vào máy tính Casio. Nhấn nút để lưu vế trái lại rồi SHIFT SOLVE tìm nghiệm thứ nhất và lưu vào A

Gọi lại vế trái. SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm thứ hai và lưu vào B

Ta có $2A + 3B \approx 1.8927 = 3{\log _3}2$

Cách 3: Tự luận
Đặt ${3^x} = t$ khi đó ${9^x} = {\left( {{3^2}} \right)^x} = {3^{2.x}} = {\left( {{3^x}} \right)^2} = {t^2}$
Phương trình $ \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 1\\ t = 2 \end{array} \right.$ .
Với $t = 1 \Leftrightarrow {3^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$
Với $t = 2 \Leftrightarrow {3^x} = 2 \Leftrightarrow x = {\log _3}2$
Vậy $2{x_1} + 3{x_2} = 2.0 + 3.{\log _3}2 = 3{\log _3}2$

Câu 5: [Thi thử tính Lâm Đồng - Hà Nội]
Giải phương trình ${2^{2{x^2} - 4x + 1}} = {8^{x - 1}}$
A. Vô nghiệm
B. $\left[ \begin{array}{l} x = \frac{5}{2}\\ x = 2 \end{array} \right.$
C. $\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{5}{2}\\ x = 2 \end{array} \right.$
D. $x = \frac{{7 \pm \sqrt {17} }}{4}$

Phương trình ${2^{2{x^2} - 4x + 1}} - {8^{x - 1}} = 0$ . Nhập vào máy tính Casio rồi kiểm tra giá trị x=2

$F\left( 2 \right) = - 6 \Rightarrow $ Đáp số B và C sai

Kiểm tra giá trị $x = \frac{{7 + \sqrt {17} }}{4}$ và $x = \frac{{7 + \sqrt {17} }}{4}$

D là đáp án chính xác

Câu 6: [Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai]
Phương trình ${\log _2}x + {\log _2}\left( {{x^2}} \right) = {\log _2}\left( {4x} \right)$
A. $\left\{ {0; - 2;2} \right\}$
B. $\left\{ {0; - 2;2} \right\}$
C. $\left\{ { - 2;2} \right\}$
D. $\left\{ 2 \right\}$

Phương trình ${\log _2}x + {\log _2}\left( {{x^2}} \right) - {\log _2}\left( {4x} \right) = 0$ . Nhập vào máy tính Casio rồi kiểm tra giá trị x=0

Không tính được (vì x=0 không thuộc tập xác định) $ \Rightarrow $ Đáp số A và B sai

Kiểm tra giá trị x= -2 $ \Rightarrow $ Vẫn không tính được $ \Rightarrow $ Đáp số C sai $ \Rightarrow $ Tóm lại đáp số D chính xác


Câu 7: [THPT Lục Ngạn – Bắc Giang]
Phương trình ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0$ có tích các nghiệm là :
A. 0
B. -1
C. 1
D. 2
Nhập phương trình ${\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0$ vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1

Nếu đáp số A đúng thì nghiệm còn lại là 0 . Sử dụng chức năng CALC để kiểm tra. Ra một kết quả khác 0 Đáp số A sai


Tương tự vậy, kiểm tra đáp số B với giá trị x= -1 là nghiệm $ \Rightarrow $ Đáp số B chính xác



Câu 8: [THPT Nguyễn Gia Thiều -HN ]
Tích các nghiệm của phương trình ${\left( {5 + \sqrt {24} } \right)^x} + {\left( {5 - \sqrt {24} } \right)^x} = 10$ là :
A. 1
B. 6
C. -4
D. 1

Phương trình $ \Leftrightarrow {\left( {5 + \sqrt {24} } \right)^x} + {\left( {5 - \sqrt {24} } \right)^x} - 10 = 0$. Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1

Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại $ \Rightarrow $ Nghiệm còn lại là x=-1

$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A

Câu 9: [THPT Nguyễn Gia Thiều -HN]
Tổng các nghiệm của phương trình ${25^x} - 2\left( {3 - x} \right){.5^x} + 2x - 7 = 0$ là:
A. 1
B. 6
C. 2
D. -9

Phương trình ${25^x} - 2\left( {3 - x} \right){.5^x} + 2x - 7 = 0$. Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 1

Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại $ \Rightarrow $ Nghiệm còn lại là x=-1

Không còn nghiệm nào ngoài 1 vậy phương trình có nghiệm duy nhất Đáp số chính xác là A

Câu 10: [THPT Phạm Hồng Thái -HN]
Phương trình ${\log _2}\left( {2x} \right).{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = 2$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn biểu thức :
A. ${x_1}{x_2} = - 2$
B. ${x_1} + {x_2} = \frac{3}{4}$
C. ${x_1}{x_2} = \frac{1}{2}$
D. ${x_1} + {x_2} = - 1$

Phương trình $ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x} \right).{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {\frac{1}{x}} \right) - 2 = 0$. Nhập vế trái vào máy tính Casio rồi dùng chức năng SHIFT SOLVE để dò nghiệm. Ta được 1 nghiệm là 2

Tiếp tục SHIFT SOLVE một lần nữa để tìm nghiệm còn lại $ \Rightarrow $ Nghiệm còn lại là x= -1

Rõ ràng ${x_1}.{x_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C

Câu 11: [THPT Phạm Hồng Thái -HN 2017]
Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $\log _3^2x - \left( {m + 2} \right){\log _3}x + 3m - 1 = 0$ có 2 nghiệm ${x_1}{x_2} = 27$
A. $m = \frac{4}{3}$
B. m= 1
C. m= 25
D. $m = \frac{{28}}{3}$

Để dễ nhìn ta đặt ẩn phụ $t = {\log _3}x$ . Phương trình $ \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 2} \right)t + 3m - 1 = 0$ (1)
Ta có : ${x_1}{x_2} = 27 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x_1}{x_2}} \right) = {\log _3}27 \Leftrightarrow {\log _3}{x_1} + {\log _3}{x_2} = 3 \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} = 3$
Khi đó phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm thỏa mãn ${t_1} + {t_2} = 3$ $ \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4(3m - 1) > 0\\S = {t_1} + {t_2} = m + 2 = 3\end{array} \right.$

Vậy m=1 thỏa mãn hệ phương trình (*) $ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C.