I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG
1. Các khái niệm thường gặp
1. Các khái niệm thường gặp
- Hệ trục thực ảo gồm có 2 trục vuông góc với nhau : Trục nằm ngang là trục thực, trục đứng dọc là trục ảo
- Số phực z=a+bi khi biểu diễn trên hệ trục thực ảo là điểm M(a,b)
- Môđun của số phức z=a+bi là độ lớn của vecto $\overrightarrow {OM} $
- Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE 2
- Lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3
- Lệnh giải phương trình bậc ba MODE 5 4
II) VÍ DỤ MINH HỌA
Câu 1-[Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc Gia lần 1]
Cho số phức z thỏa mãn (1+i)z=3-i . Hỏi điểm biểu diễn số phức z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q
A.điểm P
B.điểm Q
C.điểm M
D.điểm N
Cô lập $z = \frac{{3 - 1}}{{1 + i}}$
Sử dụng máy tính Casio trong môi trường CMPLX để tìm z
$ \Rightarrow z = 1 - 2i$ và điểm biểu diễn z trong hệ trục thực ảo có tọa độ (1;-2) . Điểm có thực dương và ảo âm sẽ nằm ở góc phần tư thứ IV
$ \Rightarrow $ Điểm phải tìm là Q và đáp án chính xác là B
Câu 2-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần 1]
Điểm biểu diễn số phức z=7+bi với $b \in R$, nằm trên đường thẳng có phương trình là :
A.x=7
B.y=x
C.y=x+7
D.y=7
Điểm biểu diễn số phức z=7+bi là điểm M có tọa độ M(7;b)
Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d nếu tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d
Thử đáp án A ta có $x = 7 \Leftrightarrow 1.x + 0.y - 7 = 0$ . Thế tọa độ điểm M vào ta được : 1.7+0.b-7=0 (đúng)
Vậy điểm M thuộc đường thẳng x=7 $ \Rightarrow $ Đáp án A là chính xác
Câu 3-[Thi thử Group Nhóm toán – Facebook lần 5]
Các điểm M, N, P lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức ${z_1} = \frac{{4i}}{{i - 1}};$ ${z_2} = \left( {1 - i} \right)\left( {1 + 2i} \right)$ $;{z_3} = - 1 + 2i$
A. Tam giác vuông
B.Tam giác cân
C.Tam giác vuông cân
D.Tam giác đều
Rút gọn ${z_1}$ bằng Casio
Ta được ${z_1} = 2 - 2i$ vậy điểm M(2;-2)
Rút gọn ${z_2}$ bằng Casio
Ta được ${z_2} = 3 + i$ vậy điểm N(3;1)
Tương tự ${z_2} = - 1 + 2i$ và điểm P(-1;2)
Để phát hiện tính chất của tam giác MNP ta nên biểu diễn 3 điểm M, N, Ptrên hệ trục tọa độ
Dễ thấy tam giác MNP vuông cân tại P $ \Rightarrow $ đáp án C chính xác
Câu 4-[Thi thử báo Toán học Tuổi trẻ lần 4]
Trong mặt phẳng Oxy, gọi các điểm M, N lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${z_1} = 1 - i,{z_2} = 3 + 2i$ . Gọi G là trọng tâm tam giác OMN , với O là gốc tọa độ. Hỏi G là điểm biểu diễn của số phức nào sau đây.
A.5-i
B.4+i
C. $\frac{4}{3} + \frac{1}{3}i$
D. $2 + \frac{1}{2}i$
Điểm M biểu diễn số phức ${z_1} = 1 - i$ $ \Rightarrow $ tọa độ M(1;-1)
Điểm N biểu diễn số phức ${z_2} = 3 + 2i$ $ \Rightarrow $ tọa độ N(3;2)
Gốc tọa độ O(0;0)
Tọa độ điểm $G\left( {\frac{{{x_M} + {x_N} + {x_O}}}{3};\frac{{{y_M} + {y_N} + {y_O}}}{3}} \right) = \left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)$
Vậy G là điểm biểu diễn của số phức $\frac{4}{3} + \frac{1}{3}i$ $ \Rightarrow $ C là đáp án chính xác
Câu 5-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần 1]
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M là điểm biểu diễn số phức Z=3-4i, điểm M’ là điểm biểu diễn số phức $z' = \frac{{1 + i}}{2}z$. Tính diện tích $\Delta OMM'$
A. ${S_{\Delta OMM'}} = \frac{{25}}{4}$
B. ${S_{\Delta OMM'}} = \frac{{25}}{2}$
C. ${S_{\Delta OMM'}} = \frac{{15}}{4}$
D. ${S_{\Delta OMM'}} = \frac{{15}}{2}$
Điểm M biểu diễn số phức ${z_1} = 3 - 4i$ $ \Rightarrow $ tọa độ M(3;-4)
Điểm M’ biểu diễn số phức $z' = \frac{{1 + i}}{2}z$ $ \Rightarrow $ tọa độ $N\left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$
Để tínhdiện tích tam giác OMM’ ta ứng dụng tích có hướng của 2 vecto trong không gian. Ta thêm cao độ 0 cho tọa độ mỗi điểm O, M, M’ là xong
$\overrightarrow {OM} \left( {3; - 4;0} \right)$ , $\overrightarrow {OM'} \left( {\frac{7}{2}; - \frac{1}{2};0} \right)$ $ \Rightarrow S = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OM'} } \right]} \right|$
Tính $\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OM'} } \right]} \right|$
Vậy $\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OM'} } \right]} \right| = 12.5 = \frac{{25}}{2} \Rightarrow {S_{OMM'}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {OM'} } \right]} \right| = \frac{{25}}{4}$
$ \Rightarrow $ A là đáp án chính xác
Câu 6-[Đề thi minh họa bộ GD-ĐT lần 2]
Kí hiệu ${z_0}$ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình $4{z^2} - 16z + 17 = 0$ . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức $w = i{z_0}$
A. $M\left( {\frac{1}{2};2} \right)$
B. $M\left( { - \frac{1}{2};2} \right)$
C. $\left( { - \frac{1}{4};1} \right)$
D. $M\left( {\frac{1}{4};1} \right)$
Sử dụng lệnh giải phương trình bậc hai MODE 5 3 để giải phương trình $4{z^2} - 16z + 17 = 0$
Vậy phương trình $4{z^2} - 16z + 17 = 0$ có hai nghiệm $z = 2 + \frac{1}{2}i$ và $z = 2 - \frac{1}{2}i$
Để ${z_0}$ có phần ảo dương $ \Rightarrow z = 2 - \frac{1}{2}i$ . Tính $w = {z_0}i$
Vậy phương trình \[w = - \frac{1}{2} + 2i\] $ \Rightarrow $ Điểm biểu diễn số phức w là $M\left( { - \frac{1}{2};2} \right)$
$ \Rightarrow $ B là đáp án chính xác
Câu 7-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần 2]
Cho số phức z=2+i . Hãy xác định điểm biểu diễn hình học của số phức w=(1-i)z
A.Điểm M
B.Điểm N
C.Điểm P
D. Điểm Q
Tính số phức w=(1-i)z bằng máy tính Casio
Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức w là (3;-1). Đây là tọa độ điểm Q
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là D
Câu 8-[Thi thử facebook nhóm toán lần 5]
Cho số phức z thỏa mãn (2-i)z=4z+5 . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên .
A.Điểm N
B.Điểm P
C.Điểm M
D. Điểm Q
Cô lập $\left( {2 - i} \right)z - 4{\rm{z}} = 5 \Leftrightarrow - \left( {2 + i} \right)z = 5 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 5}}{{2 + i}}$
Tìm số phức $z = \frac{{ - 5}}{{2 + i}}$
Vậy tọa độ của điểm thỏa mãn số phức z là (-2;1). Đây là tọa độ điểm M
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là C
Câu 9-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4]
Trên mặt phẳng tọa độ các điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $\frac{4}{{ - \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i}}$ , (1-i)(1+2i), $ - 2{i^3}$ Khi đó tam giác ABC
A.Vuông tạiC
B.Vuông tạiA
C.Vuông cân tạiB
D. Tam giác đều
Rút gọn $\frac{4}{{ - \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i}}$
được -2-4i vậy tọa độ điểm A(-2;-4)
Rút gọn (1-i)(1+2i)được 3+i vậy tọa độ điểm B(3;1)
Rút gọn $ - 2{i^3} = - 2i.{i^2} = 2i$ vậy tọa độ điểm C(0;2)
Để phát hiện tính chất của tam giác ABC ta chỉ cần biểu diễn trên hệ trục tọa độ là thấy ngay
Dễ thấy tam giác ABC vuông tại C
$ \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A
Câu 10-Các điểm A, B, C, A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số: 1-I, 2+3i, 3+i và 3i, 3-2i, 3+2i có G, G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Khẳng định nào sau đây đúng
A.G trùng G’
B. Vecto $\overrightarrow {GG'} = \left( {1; - 1} \right)$
C. $\overrightarrow {GA} = 3\overrightarrow {GA'} $
D. Tứ giác GAG’B lập thành một hình bình hành
Ta có tọa độ các đỉnh A(1;-1), B (2;3), C(3;1) $ \Rightarrow $ Tọa độ trọng tâm G(2;1)
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = 2\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = 1
\end{array} \right.$
Ta có tọa độ các đỉnh A’(0;3), B’ (3; -2), C’(3;2) $ \Rightarrow $ Tọa độ trọng tâm G(2;1)
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_{G'}} = \frac{{{x_{A'}} + {x_{B'}} + {x_{C'}}}}{3} = 2\\
{y_{G'}} = \frac{{{y_{A'}} + {y_{B'}} + {y_{C'}}}}{3} = 1
\end{array} \right.$
Rõ ràng $G \equiv G' \Rightarrow $ Đáp số chính xác là A.[/khung]
Sửa lần cuối: