Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$lần lượt có phương trình ${d_1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{3}$, ${d_2}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{4}$. Phương trình mặt phẳng (α) cách đều hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ là:
A.7x - 2y - 4z = 0.
B. 7x - 2y - 4z + 3 = 0.
C. 2x + y + 3z + 3 = 0.
D. 14x - 4y - 8z + 3 = 0.
A.7x - 2y - 4z = 0.
B. 7x - 2y - 4z + 3 = 0.
C. 2x + y + 3z + 3 = 0.
D. 14x - 4y - 8z + 3 = 0.
Ta có ${d_1}$ đi qua $A\left( {2;2;3} \right)$ và có $\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} = \left( {2;1;3} \right)$, ${d_2}$ đi qua $B\left( {1;2;1} \right)$ và có $\overrightarrow {{u_{d{ & _2}}}} = \left( {2; - 1;4} \right)$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1; - 2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$;
$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\overrightarrow {AB} = - 1 \ne 0$ nên ${d_1},{d_2}$ chéo nhau.
Do (α) cách đều ${d_1},{d_2}$ nên (α) song song với ${d_1},{d_2}$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$
$ \Rightarrow \left( \alpha \right)$ có dạng $7x - 2y - 4z + d = 0$
Theo giả thiết thì $d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {d - 2} \right|}}{{\sqrt {69} }} = \frac{{\left| {d - 1} \right|}}{{\sqrt {69} }} \Leftrightarrow d = \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow \left( \alpha \right):14x - 4y - 8z + 3 = 0$
$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1; - 2} \right);\left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$;
$ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right]\overrightarrow {AB} = - 1 \ne 0$ nên ${d_1},{d_2}$ chéo nhau.
Do (α) cách đều ${d_1},{d_2}$ nên (α) song song với ${d_1},{d_2}$$ \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_{{d_1}}}} ;\overrightarrow {{u_{{d_2}}}} } \right] = \left( {7; - 2; - 4} \right)$
$ \Rightarrow \left( \alpha \right)$ có dạng $7x - 2y - 4z + d = 0$
Theo giả thiết thì $d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = d\left( {B,\left( \alpha \right)} \right)$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {d - 2} \right|}}{{\sqrt {69} }} = \frac{{\left| {d - 1} \right|}}{{\sqrt {69} }} \Leftrightarrow d = \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow \left( \alpha \right):14x - 4y - 8z + 3 = 0$
