Phương trình ${\sin ^3}x + {\cos ^3}x + {\sin ^3}x.\cot x + {\cos ^3}x.\tan x = \sqrt {2\sin 2x} $ có nghiệm là:
A. $x = \frac{\pi }{8} + k\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.
C. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi $.
D. $x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi $.
A. $x = \frac{\pi }{8} + k\pi $.
B. $x = \frac{\pi }{4} + k\pi $.
C. $x = \frac{\pi }{4} + k2\pi $.
D. $x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi $.
Chọn B
Điều kiện: sin 2x > 0 (do có điều kiện của tan x, cot x)
${\sin ^3}x + {\cos ^3}x + {\sin ^3}x.\cot x + {\cos ^3}x.\tan x = \sqrt {2\sin 2x} $
$ \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x + {\sin ^2}x\cos x + {\cos ^2}x.sinx = \sqrt {2\sin 2x} $$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) + \sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sqrt {2\sin 2x} $$ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt {2\sin 2x} $
$ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 2\sin 2x$$ \Rightarrow 1 = \sin 2x$$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Điều kiện: sin 2x > 0 (do có điều kiện của tan x, cot x)
${\sin ^3}x + {\cos ^3}x + {\sin ^3}x.\cot x + {\cos ^3}x.\tan x = \sqrt {2\sin 2x} $
$ \Leftrightarrow {\sin ^3}x + {\cos ^3}x + {\sin ^2}x\cos x + {\cos ^2}x.sinx = \sqrt {2\sin 2x} $$ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) + \sin x\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sqrt {2\sin 2x} $$ \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt {2\sin 2x} $
$ \Rightarrow {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2} = 2\sin 2x$$ \Rightarrow 1 = \sin 2x$$ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: $x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$