Nguyên hàm các phân thức hữu tỉ

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Câu 1. Tính nguyên hàm $\int{\left( \frac{1}{2x+3} \right)\text{d}x}$
A. $\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C$.
B. $\frac{1}{2}\ln \left( 2x+3 \right)+C$.
C. $2\ln \left| 2x+3 \right|+C$.
D. $\ln \left| 2x+3 \right|+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có : $\int{\left( \frac{1}{2x+3} \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\int{\left( \frac{1}{2x+3} \right)\text{d}\left( 2x+3 \right)}=\frac{1}{2}\ln \left| 2x+3 \right|+C$

Câu 2. Tìm nguyên hàm$\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x$
A. $\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1}{1-2x} \right|+C.$
B. $\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x=\frac{1}{2}\ln \left| 1-2x \right|+C.$
C. $\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x=\ln \left| 1-2x \right|+C.$
D. $\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x=\ln \left| \frac{1}{1-2x} \right|+C.$
Hướng dẫn giải
Chọn A.
$\int{\frac{1}{1-2x}}\text{d}x=-\frac{1}{2}\int{\frac{\text{d}\left( 1-2x \right)}{1-2x}=}-\frac{1}{2}\ln \left| 1-2x \right|+C=\frac{1}{2}\ln \left| \frac{1}{1-2x} \right|+C.$

Câu 3. Tìm nguyên hàm $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}$.
A. $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}=2\ln \left| x+2 \right|-\ln \left| x+1 \right|+C$.
B. $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}=2\ln \left| x+1 \right|-\ln \left| x+2 \right|+C$.
C. $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}=2\ln \left| x+1 \right|+\ln \left| x+2 \right|+C$.
D. $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}=\ln \left| x+1 \right|+2\ln \left| x+2 \right|+C$.
Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B.
Ta có $\int{\frac{x+3}{{{x}^{2}}+3x+2}\text{d}x}=\int{\frac{x+3}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}\text{d}x}=\int{\left( \frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2} \right)\text{d}x}$$=2\ln \left| x+1 \right|-\ln \left| x+2 \right|+C$.

Câu 4. Cho $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{{{e}^{x}}+3}$ và $F\left( 0 \right)=-\frac{1}{3}\ln 4$. Tập nghiệm $S$ của phương trình $3F\left( x \right)+\ln \left( {{e}^{x}}+3 \right)=2$ là:
Sửa lại:
A. $S=\left\{ 2 \right\}$.
B.$S=\left\{ -2;2 \right\}$.
C.$S=\left\{ 1;2 \right\}$.
D.$S=\left\{ -2;1 \right\}$.
Hướng dẫn giải
Ta có:$F\left( x \right)=\int{\frac{\text{d}x}{{{e}^{x}}+3}}=\frac{1}{3}\int{\left( 1-\frac{{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}+3} \right)\text{d}x}=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( {{e}^{x}}+3 \right) \right)+C$.
Do $F\left( 0 \right)=-\frac{1}{3}\ln 4$nên $C=0$. Vậy $F\left( x \right)=\frac{1}{3}\left( x-\ln \left( {{e}^{x}}+3 \right) \right)$.
Do đó: $3F\left( x \right)+\ln \left( {{e}^{x}}+3 \right)=2\Leftrightarrow x=2$
Chọn A.