Cho một hình nón có bán kính đáy là R, chiều cao là \(2R\), ngoại tiếp một hình cầu \(S(O;r)\). Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu \(S(O;r)\) là
A. \(\frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^3}}}\).
B. \(\frac{{4\pi {R^3}}}{{1 + 2\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^3}}}\).
D. \(\frac{{4\pi {R^3}}}{{2\sqrt 5 - 1}}\).
Giả sử hình nón có đỉnh \(O\) và đường kính đáy là \(AB\).
Ta có \(OA = OB = \sqrt {{R^2} + {{(2R)}^2}} = R\sqrt 5 \).
Tam giác \(OAB\) có diện tích là \(S = 2{R^2}\),
chu vi là \(2p = 2R(1 + \sqrt 5 )\). Do đó bán kính khối cầu \(S(O;r)\) là \(r = \frac{S}{p} = \frac{{2R}}{{1 + \sqrt 5 }}\).
Thể tích khối trụ cần tìm là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = 2\pi {r^3} = \frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^3}}}\).
A. \(\frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^3}}}\).
B. \(\frac{{4\pi {R^3}}}{{1 + 2\sqrt 5 }}\).
C. \(\frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^3}}}\).
D. \(\frac{{4\pi {R^3}}}{{2\sqrt 5 - 1}}\).
Giả sử hình nón có đỉnh \(O\) và đường kính đáy là \(AB\).
Ta có \(OA = OB = \sqrt {{R^2} + {{(2R)}^2}} = R\sqrt 5 \).
Tam giác \(OAB\) có diện tích là \(S = 2{R^2}\),
chu vi là \(2p = 2R(1 + \sqrt 5 )\). Do đó bán kính khối cầu \(S(O;r)\) là \(r = \frac{S}{p} = \frac{{2R}}{{1 + \sqrt 5 }}\).
Thể tích khối trụ cần tìm là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = 2\pi {r^3} = \frac{{16\pi {R^3}}}{{{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^3}}}\).
Sửa lần cuối: