Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), ABCD là hình thang vuông tại a và B biết AB = 2a. AD = 3BC = 3a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a, biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng \(\frac{{3\sqrt 6 }}{4}a\).
A. \(6\sqrt 6 {a^3}\).
B. \(2\sqrt 6 {a^3}\).
C. \(2\sqrt 3 {a^3}\).
D.\(6\sqrt 3 {a^3}\).
A. \(6\sqrt 6 {a^3}\).
B. \(2\sqrt 6 {a^3}\).
C. \(2\sqrt 3 {a^3}\).
D.\(6\sqrt 3 {a^3}\).
:
Dựng \(AM \bot CD\) tại M.
Dựng \(AH \bot SM\) tại SH.
Ta có: \(AH = \frac{{3\sqrt 6 }}{4}a\) .
\({S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2}.AB = 4{a^2}\)
\(CD = \sqrt {{{\left( {AD - BC} \right)}^2} + A{B^2}} = 2a\sqrt 2 \)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = {a^2}\)
\({S_{ACD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABC}} = 3{a^2}\)
\({S_{ACD}} = \frac{1}{2}AM.CD \Rightarrow AM = \frac{{2{S_{ACD}}}}{{CD}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}a\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} \Rightarrow AS = \frac{{AH.AM}}{{\sqrt {A{M^2} - A{H^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}a\)
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = 2\sqrt 6 {a^3}\)
Dựng \(AM \bot CD\) tại M.
Dựng \(AH \bot SM\) tại SH.
Ta có: \(AH = \frac{{3\sqrt 6 }}{4}a\) .
\({S_{ABCD}} = \frac{{AD + BC}}{2}.AB = 4{a^2}\)
\(CD = \sqrt {{{\left( {AD - BC} \right)}^2} + A{B^2}} = 2a\sqrt 2 \)
\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = {a^2}\)
\({S_{ACD}} = {S_{ABCD}} - {S_{ABC}} = 3{a^2}\)
\({S_{ACD}} = \frac{1}{2}AM.CD \Rightarrow AM = \frac{{2{S_{ACD}}}}{{CD}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}a\)
Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{S^2}}} \Rightarrow AS = \frac{{AH.AM}}{{\sqrt {A{M^2} - A{H^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}a\)
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = 2\sqrt 6 {a^3}\)