Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Phương Trình Mặt Cầu |
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} + 2y + z = 0,\)\(\left( {{S_2}} \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - y - z = 0\) cắt nhau theo một đường tròn (C) và ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\)\(B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right).\) Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa đường tròn (C) và tiếp xúc với ba đường thẳng AB, BC, AC?
A. 1 mặt cầu.
B. 2 mặt cầu.
C. 4 mặt cầu.
D. Vô số mặt cầu.

Mặt phẳng (P) chứa đường tròn (C) có phương trình là:
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4{\rm{x}} + 2y + z = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - y - z \Leftrightarrow 6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} = 0\)
Dễ thấy \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\,\,\,hay\,\,\,6{\rm{x}} + 3y + 2{\rm{z}} - 6 = 0.\)
Do đó (ABC)//(P).
Trên mặt phẳng (ABC) có 4 điểm M, N, P, Q cách đều AB, BC và AC là tâm đường tròn nội tiếp và 3 tâm đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C do đó có 4 điểm trên mặt phẳng (P) là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q trên (P).