Cho phương trình: $4{\cos ^2}x + {\cot ^2}x + 6 = 2\sqrt 3 \left( {2\cos x - \cot x} \right)$. Hỏi có bao nhiều nghiệm x thuộc vào khoảng $(0;2\pi )$?
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. đáp số khác.
A. 3.
B. 2.
C. 1.
D. đáp số khác.
Chọn C
Ta có : $4{\cos ^2}x + {\cot ^2}x + 6 = 2\sqrt 3 \left( {2\cos x - \cot x} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x - 4\sqrt 3 \cos x + 3} \right) + \left( {{{\cot }^2}x - 2\sqrt 3 \cot x + 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\cot x - \sqrt 3 } \right)^2} = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x - \sqrt 3 = 0}\\{\cot x - \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k'\pi }\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + l2\pi $ $\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)$
Vì $x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + l2\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < l < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow l = 0$
Ta có : $4{\cos ^2}x + {\cot ^2}x + 6 = 2\sqrt 3 \left( {2\cos x - \cot x} \right)$
$ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x - 4\sqrt 3 \cos x + 3} \right) + \left( {{{\cot }^2}x - 2\sqrt 3 \cot x + 3} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow {\left( {2\cos x - \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\cot x - \sqrt 3 } \right)^2} = 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\cos x - \sqrt 3 = 0}\\{\cot x - \sqrt 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{6} + k'\pi }\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + l2\pi $ $\left( {l \in \mathbb{Z}} \right)$
Vì $x \in \left( {0;2\pi } \right) \Rightarrow 0 < \frac{\pi }{6} + l2\pi < 2\pi \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} < l < \frac{{11}}{{12}} \Rightarrow l = 0$