Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0\) và x=4 quanh trục Ox

Nguyên hàm | tích phân | nguyên hàm và tích phân |
Ứng Dụng Của Tích Phân Và Nguyên Hàm
Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x ,y = 0\) và x=4 quanh trục Ox. Đường thẳng x=a (0 tại M (hình vẽ bên). Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox. Biết rằng \(V = 2{V_1}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(a = 2\sqrt 2\)
B. \(a = \frac{5}{2}\)
C. \(a = 2\)
D. \(a = 3\)

Ta có \(V = \pi \int\limits_0^4 {xdx = \pi \frac{{{x^2}}}{2}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 0 \end{array}} \right. = 8\pi \Rightarrow {V_1} = 4\pi\)
Gọi N là giao điểm của đường thẳng x=a và trục hoành.
Khi đó V1 là thể tích tạo được khi xoay hai tam giác OMN và MNH quanh trục Ox với N là hình chiếu của M trên OH.
Ta có \({V_1} = \frac{1}{3}\pi a{\left( {\sqrt a } \right)^2} + \frac{1}{3}\pi \left( {4 - a} \right){\left( {\sqrt a } \right)^2} = \frac{4}{3}\pi a = 4\pi \Rightarrow a = 3.\)