Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 6 trang 26 phần Khái niệm về thể tích của khối đa diện
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thằng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.
Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]
Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \frac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d'} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)
\(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)
\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)
\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \frac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \)
Vậy \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(d\) và \(d’\). Đoạn thằng \(AB\) có độ dài \(a\) trượt trên \(d\), đoạn thẳng \(CD\) có độ dài \(b\) trượt trên \(d’\). Chứng minh rằng khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích không đổi.
Lời giải chi tiết
Gọi \(h\) là độ dài đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\), \(α\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d’\). Qua \(B, A, C\) dựng hình bình hành \(BACF\). Qua \(A,C, D\) dựng hình bình hành \(ACDE\).Khi đó \(CFD.ABE\) là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[\begin{array}{l}
{V_{D.ABE}} + {V_{D.BACF}} = {V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}} \Rightarrow {V_{D.BACF}} = \frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}}\\
{V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}{V_{D.BACF}} \Rightarrow {V_{D.ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}{V_{CFD.ABE}} = \frac{1}{3}{V_{CFD.ABE}}
\end{array}\]
Kẻ \(AH \bot \left( {CDF} \right)\) ta có: \({V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.V_{CFD.ABE} = \frac{1}{3}.AH.{S_{CDF}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}AB//CF \Rightarrow AB//\left( {CDF} \right) \supset CD\\\Rightarrow d\left( {d;d'} \right) = d\left( {AB;CD} \right) = d\left( {AB;\left( {CDF} \right)} \right) \end{array}\)
\(= d\left( {A;\left( {CDF}\right)} \right) = AH = h\)
\(AB//CF \Rightarrow \widehat {\left( {d;d'} \right)} = \widehat {\left( {AB;CD} \right)} = \widehat {\left( {CF;CD} \right)} = \widehat {DCF} = \alpha \)
\( \Rightarrow {S_{CDF}} = \frac{1}{2}.CD.CF.\sin \widehat {DCF} = \frac{1}{2}ab\sin \alpha \)
Vậy \(V_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.\frac{1}{2}ab\sin \alpha =\frac{1}{6}.h. ab. sinα = const\). (đpcm)