Giải bài tập sgk toán lớp 12 bài 2 trang 12 phần Khái niệm về khối đa diện
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
\(c = {1 \over 2}({m_1} + {m_2} + ... + {m_d})\)
Vì \(c\) là số nguyên, \(m_1, … m_d\) là những số lẻ nên \(d\) phải là số chẵn.
Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.
Đỉnh S là đỉnh chung của 5 mặt, tất cả các đỉnh còn lại là đỉnh chung của 3 mặt, hình chóp ngũ giác có 6 đỉnh.
Chứng minh rằng một đa diện mà mỗi đỉnh của nó đều là đỉnh chung của số lẻ mặt thì tổng số các đỉnh của nó là một số chẵn. Cho ví dụ.
Lời giải bài tập
Giả sử đa diện \((H)\) có các đỉnh là \(A_1, … A_d\) gọi \(m_1, … m_d\) lần lượt là số các mặt của \((H)\) nhận chúng là đỉnh chung. Như vậy mỗi đỉnh \(A_k\) có \(mk\) cạnh đi qua. Do mỗi cạnh của \((H)\) là cạnh chung của đúng hai mặt nên tổng số các cạnh của \(H\) bằng\(c = {1 \over 2}({m_1} + {m_2} + ... + {m_d})\)
Vì \(c\) là số nguyên, \(m_1, … m_d\) là những số lẻ nên \(d\) phải là số chẵn.
Ví dụ : Hình chóp ngũ giác.