Đề bài
Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Có: \(y'=\frac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right).\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Chú ý: cách tính giới hạn của hàm số để điền vào BBT: \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}=0.\)
Chứng minh rằng hàm số \(y=\frac{x}{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right)\) và nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Giải
Tập xác định: \(D=R.\)Có: \(y'=\frac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{1-{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right..\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\ 1 \right).\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\ -1 \right)\) và \(\left( 1;+\infty \right).\)
Chú ý: cách tính giới hạn của hàm số để điền vào BBT: \(\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{x}^{2}}+1}=0.\)