Câu 1:
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\).
A. \(S=\frac{1}{2}\) (đvdt)
B. \(S=\frac{1}{3}\) (đvdt)
C. \(S=\frac{1}{4}\) (đvdt)
D. \(S=\frac{1}{6}\) (đvdt)
Câu 2:
Gọi S là diện tích của ban công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) và trục Ox). Tìm S.
A. \(S=\frac{9}{2}\)
B. \(S=1\)
C. \(S=\frac{4}{3}\)
D. \(S=2\)
Câu 3:
Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Câu 4:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\) và x=2 được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \(\int\limits_0^2 {\left( {x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} .\)
B. \(\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
D. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
Câu 5:
Một ôtô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 38t + 19\,\,m/s,\) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 4,75 (m)
B. 4,5 (m)
C. 4,25 (m)
D. 5 (m)
Câu 6:
Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng \frac{1}{{\sqrt 2 }} và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2\) và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }} kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
A. 30kg
B. 40kg
C. 50kg
D. 45kg
Câu 7:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2.
A. \(S = \frac{8}{9}\)
B. \(S = \frac{16}{3}\)
C. \(S = 16\)
D. \(S = \frac{8}{3}\)
Câu 8:
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\)
B. \(V = \frac{{8{\pi ^2}}}{3}\)
C. \(V = 8{\pi ^2}\)
D. \(V = 8{\pi }\)
Câu 9:
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4.
A. \(m=\frac{1}{3}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{2}{3}\)
D. \(m=\frac{3}{4}\)
Câu 10:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\)
A. \(S=\frac{37}{12}\)
B. \(S=\frac{9}{4}\)
C. \(S=\frac{155}{12}\)
D. \(S=\frac{17}{12}\)
Câu 11:
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sqrt {\ln x}\), trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox.
A. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}\)
B. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{3}\)
C. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{9}\)
D. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{3}\)
Câu 12:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \((C):{y^2} - 1 - x = 0\) và hai đường thẳng x=0, x=3.
A. \(S = \frac{{14}}{3}\)
B. \(S = \frac{{28}}{3}\)
C. \(S = \frac{{7}}{3}\)
D. \(S = \frac{{32}}{3}\)
Câu 13:
Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = a đến x=b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức
\(W = \int\limits_a^b {F(x)dx}\)
Với thông tin trên, hãy tính công sinh ra khi một lực tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x=1 đến x=6.
A. W=20
B. W=12
C. W=18
D. W=14
Câu 14:
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x + 4\) và \(y = x + 2.\)
A. \(S=\frac{1}{6}\)
B. \(S=\frac{1}{2}\)
C. \(S=\frac{1}{3}\)
D. \(S=\frac{1}{4}\)
Câu 15:
Ký hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} ,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 2.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 1} \right)}}{{2e}}\)
B. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 3} \right)}}{{2e}}\)
C. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}\)
D. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 3} \right)}}{{2e}}\)
Câu 16:
Parabol y=\frac{x^2}{2} chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2\sqrt{2}thành hai phần có diện tích là S_1 và S_2 trong đó S_1<S_2. Tìm tỉ số \frac{S_1}{S_2}.
A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{21\pi - 2}}.\)
B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{12\pi }}.\)
D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}}.\)
Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(R = 2\sqrt 2\) là:
\({x^2} + {y^2} = 8.\)
Giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 8\\ y = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 2\\ y = 2 \end{array} \right.\)
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên.
Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} = 2\pi + \frac{4}{3}.\)
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 8\pi .\)
Suy ra \({S_2} = 8\pi - {S_1} = 6\pi - \frac{4}{3}.\)
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\pi + \frac{4}{3}}}{{6\pi - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
Câu 17:
Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc \(v_0=15m/s\) thì tăng vận tốc với gia tốc \(a(t) = {t^2} + 4t\,(m/{s^2}).\) Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
A. 68,25 m
B. 70,25 m
C. 69,75 m
D. 67,25 m
Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=x^2\) và \(y=x\).
A. \(S=\frac{1}{2}\) (đvdt)
B. \(S=\frac{1}{3}\) (đvdt)
C. \(S=\frac{1}{4}\) (đvdt)
D. \(S=\frac{1}{6}\) (đvdt)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và đường thẳng y=x là:
\({x^2} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Vậy diện tích cần phải tính là \(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{1}{6}.\)
\({x^2} = x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.\)
Vậy diện tích cần phải tính là \(S = \int_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left( {x - {x^2}} \right)} dx = \left( {\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{3}{x^3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{1}{6}.\)
Gọi S là diện tích của ban công của một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới hạn bởi parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) và trục Ox). Tìm S.
A. \(S=\frac{9}{2}\)
B. \(S=1\)
C. \(S=\frac{4}{3}\)
D. \(S=2\)
Xét hàm số \(y = a{x^2} + bx + c\,(a \ne 0)\) có đồ thị là Parabol (P).
Các điểm (0;1), (-1;0), (1;0) thuộc (P) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} c = 1\\ a - b + c = 0\\ a + b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 0\\ c = 1 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường cong parabol là: \(y = - {x^2} + 1.\)
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}.\)
Các điểm (0;1), (-1;0), (1;0) thuộc (P) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l} c = 1\\ a - b + c = 0\\ a + b + c = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a = - 1\\ b = 0\\ c = 1 \end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường cong parabol là: \(y = - {x^2} + 1.\)
\(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {1 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 - {x^2}} \right)} dx = \left. {\left( {x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}.\)
Cho S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành. Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá S.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Phương trình hoành độ giao điểm: \(2x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc x=2.
Ta có \(S = \left| {\int\limits_0^2 {2x - {x^2}{\rm{d}}x} } \right| = \frac{4}{3}.\) Suy ra số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1.
Ta có \(S = \left| {\int\limits_0^2 {2x - {x^2}{\rm{d}}x} } \right| = \frac{4}{3}.\) Suy ra số nguyên lớn nhất không vượt quá S là 1.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0\) và x=2 được tính bởi công thức nào sau đây?
A. \(\int\limits_0^2 {\left( {x - {x^2}} \right){\rm{d}}x} .\)
B. \(\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
C. \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
D. \(\int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} .\)
Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} .\)
Bảng xét dấu:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \\ = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} } = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} . \end{array}\)
Bảng xét dấu:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - x} \right|{\rm{d}}x} \\ = - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} } = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right){\rm{d}}x} . \end{array}\)
Một ôtô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v\left( t \right) = - 38t + 19\,\,m/s,\) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ôtô còn di chuyển bao nhiêu mét?
A. 4,75 (m)
B. 4,5 (m)
C. 4,25 (m)
D. 5 (m)
Ta có thời gian ô tô bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn là: \(- 38t + 19 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}{\rm{ }}\left( s \right)\).
Trong khoảng thời gian này ô tô di chuyển một đoạn đường:
\(s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - 19{t^2} + 19t} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{{19}}{4}\left( m \right) = 4,75\left( m \right)\).
.
Trong khoảng thời gian này ô tô di chuyển một đoạn đường:
\(s = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 38t + 19} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( { - 19{t^2} + 19t} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{{19}}{4}\left( m \right) = 4,75\left( m \right)\).
.
Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng \frac{1}{{\sqrt 2 }} và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2\) và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }} kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?
A. 30kg
B. 40kg
C. 50kg
D. 45kg
Phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)
Ta có: \(y = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}}\) (một nửa của elip).
Diện tích của elip tạo sẽ là: \(S = 4\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} dx}\)
Đặt \(x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \frac{x}{2} = {\sin ^2}a.\)
Suy ra: \(dx = - \sqrt 2 \sin adx\)
Đổi cận \(x = \sqrt 2 \Rightarrow a = \frac{\pi }{4};x = 0\) thì a=0;
\({S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 } {\sin ^2}a.da = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da}\)
\(= \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2a - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^0 = \frac{{\sqrt 2 \pi }}{4}.\)
\(\Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi .\)
Diện tích hình tròn là: \(\frac{1}{2}\pi\)
Vậy diện tích trồng hoa: \({S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\)
Số kg phân bón là: \(\frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\pi = 50\) (kg).
Ta có: \(y = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}}\) (một nửa của elip).
Diện tích của elip tạo sẽ là: \(S = 4\int\limits_0^{\sqrt 2 } {\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} dx}\)
Đặt \(x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \frac{x}{2} = {\sin ^2}a.\)
Suy ra: \(dx = - \sqrt 2 \sin adx\)
Đổi cận \(x = \sqrt 2 \Rightarrow a = \frac{\pi }{4};x = 0\) thì a=0;
\({S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 } {\sin ^2}a.da = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {\left( {\cos 2a - 1} \right)da}\)
\(= \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{2}\sin 2a - x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{2}}^0 = \frac{{\sqrt 2 \pi }}{4}.\)
\(\Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi .\)
Diện tích hình tròn là: \(\frac{1}{2}\pi\)
Vậy diện tích trồng hoa: \({S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\)
Số kg phân bón là: \(\frac{{100}}{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\pi = 50\) (kg).
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y=x^2,\) trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2.
A. \(S = \frac{8}{9}\)
B. \(S = \frac{16}{3}\)
C. \(S = 16\)
D. \(S = \frac{8}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=x^2\) và trục hoành là: \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {{x^2}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}.\)
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ta có \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2}} \right|d{\rm{x}}} = \int\limits_0^2 {{x^2}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}.\)
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=3x, y=x, x=0 và x=1 quanh trục Ox.
A. \(V = \frac{{8\pi }}{3}\)
B. \(V = \frac{{8{\pi ^2}}}{3}\)
C. \(V = 8{\pi ^2}\)
D. \(V = 8{\pi }\)
Ta có:
\(S = \pi \int\limits_0^1 {\left| {9{x^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_0^1 {8{x^2}dx = \pi \frac{{8{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{8\pi }}{3}} .\)
\(S = \pi \int\limits_0^1 {\left| {9{x^2} - {x^2}} \right|} dx = \pi \int\limits_0^1 {8{x^2}dx = \pi \frac{{8{x^3}}}{3}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right. = \frac{{8\pi }}{3}} .\)
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) có đồ thị (C). Tìm \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và các đường thẳng x=0, x=2, y=0 có diện tích bằng 4.
A. \(m=\frac{1}{3}\)
B. \(m=\frac{1}{2}\)
C. \(m=\frac{2}{3}\)
D. \(m=\frac{3}{4}\)
Xét hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}\) trên [0;2]
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = {x^2} + 2mx - 2\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - \sqrt {{m^2} + 2} \\ x = - m + \sqrt {{m^2} + 2} \end{array} \right. \end{array}\)
Do \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) nên \(- m - \sqrt {{m^2} + 2} < 0,\,\,0 < - m + \sqrt {{m^2} + 2} < 2\)
Mặt khác: \(y(0) = - 2m - \frac{1}{3} < 0;\,\,y(2) = 2m - \frac{5}{3} < 0\)
Ta có bảng biến thiên trong [0;2]
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(y < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:
\(\begin{array}{l} S = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right|dx} = 4\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \frac{{4m + 10}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}. \end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} y' = {x^2} + 2mx - 2\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - m - \sqrt {{m^2} + 2} \\ x = - m + \sqrt {{m^2} + 2} \end{array} \right. \end{array}\)
Do \(m \in \left( {0;\frac{5}{6}} \right)\) nên \(- m - \sqrt {{m^2} + 2} < 0,\,\,0 < - m + \sqrt {{m^2} + 2} < 2\)
Mặt khác: \(y(0) = - 2m - \frac{1}{3} < 0;\,\,y(2) = 2m - \frac{5}{3} < 0\)
Ta có bảng biến thiên trong [0;2]
Dựa vào bảng biến thiên suy ra: \(y < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:
\(\begin{array}{l} S = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left| {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right|dx} = 4\\ \Leftrightarrow - \int\limits_0^2 {\left( {\frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} - 2x - 2m - \frac{1}{3}} \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \frac{{4m + 10}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}. \end{array}\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = {x^3} - x\) và \(y = x - {x^2}\)
A. \(S=\frac{37}{12}\)
B. \(S=\frac{9}{4}\)
C. \(S=\frac{155}{12}\)
D. \(S=\frac{17}{12}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:
\({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right..\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - (x - {x^2})} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{{37}}{{12}}. \end{array}\)
\({x^3} - x = x - {x^2} \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 2\\ x = 0\\ x = 1 \end{array} \right..\)
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn cần tính là:
\(\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} - x - (x - {x^2})} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - 2x} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - 2x} \right)dx} = \frac{{37}}{{12}}. \end{array}\)
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\sqrt {\ln x}\), trục hoành và đường thẳng x = e quay quanh Ox.
A. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}\)
B. \(V = \frac{{2{e^3} + 1}}{3}\)
C. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{9}\)
D. \(V = \frac{{2{e^3} - 1}}{3}\)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục Ox là \(x\sqrt {\ln x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^4 {{x^2}\ln xdx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x};v = \frac{{{x^3}}}{3}\)
\(V = \left. {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3}} \right|_1^4 - \int\limits_1^4 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}.\)
Thể tích khối tròn xoay cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^4 {{x^2}\ln xdx}\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \ln x\\ dv = {x^2}dx \end{array} \right. \Rightarrow du = \frac{{dx}}{x};v = \frac{{{x^3}}}{3}\)
\(V = \left. {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3}} \right|_1^4 - \int\limits_1^4 {\frac{{{x^2}}}{3}dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}.\ln x}}{3} - \frac{{{x^3}}}{9}} \right)} \right|_1^4 = \frac{{{e^3}}}{3} - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{{2{e^3} + 1}}{9}.\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đường cong \((C):{y^2} - 1 - x = 0\) và hai đường thẳng x=0, x=3.
A. \(S = \frac{{14}}{3}\)
B. \(S = \frac{{28}}{3}\)
C. \(S = \frac{{7}}{3}\)
D. \(S = \frac{{32}}{3}\)
Ta có \({y^2} - 1 - x = 0 \Leftrightarrow {y^2} = x + 1 \Leftrightarrow y = \sqrt {x + 1}\) nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai đường thẳng x = 0, x = 3 là:
\(S = \int\limits_0^3 {\sqrt {x + 1} dx} = \left. {\left[ {\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} } \right]} \right|_0^3 = \frac{{16}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{{14}}{3}.\)
\(S = \int\limits_0^3 {\sqrt {x + 1} dx} = \left. {\left[ {\frac{2}{3}\sqrt {{{(x + 1)}^3}} } \right]} \right|_0^3 = \frac{{16}}{3} - \frac{2}{3} = \frac{{14}}{3}.\)
Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như đi xe đạp. Một lực F(x) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x = a đến x=b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức
\(W = \int\limits_a^b {F(x)dx}\)
Với thông tin trên, hãy tính công sinh ra khi một lực tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x=1 đến x=6.
A. W=20
B. W=12
C. W=18
D. W=14
Ta có \(W = \int\limits_1^6 {\sqrt {3x - 2} dx}\)
Đặt: \(t = \sqrt {3x - 2} \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 2}}{3},\) khi x=1 thì t=1 khi x=6 thì t=4
Do đó: \(W = \int\limits_1^4 {td\frac{{{t^2} + 2}}{3}} = \int\limits_1^4 {t.\frac{{2t}}{3}dt} = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3}\left| \begin{array}{l} ^4\\ _1 \end{array} \right. = 14.\)
Đặt: \(t = \sqrt {3x - 2} \Rightarrow x = \frac{{{t^2} + 2}}{3},\) khi x=1 thì t=1 khi x=6 thì t=4
Do đó: \(W = \int\limits_1^4 {td\frac{{{t^2} + 2}}{3}} = \int\limits_1^4 {t.\frac{{2t}}{3}dt} = \frac{2}{3}.\frac{{{t^3}}}{3}\left| \begin{array}{l} ^4\\ _1 \end{array} \right. = 14.\)
Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} - 2x + 4\) và \(y = x + 2.\)
A. \(S=\frac{1}{6}\)
B. \(S=\frac{1}{2}\)
C. \(S=\frac{1}{3}\)
D. \(S=\frac{1}{4}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - 2x + 4 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.\)
Diện tích cần tính là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - \left( {x + 2} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx.}\)
Rõ ràng trên khoảng (1;2) phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0 \Rightarrow S = - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{6}\)
Diện tích cần tính là \(S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - \left( {x + 2} \right)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx.}\)
Rõ ràng trên khoảng (1;2) phương trình \({x^2} - 3x + 2 < 0 \Rightarrow S = - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} = \frac{1}{6}\)
Ký hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} ,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 2.\) Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) xung quanh trục hoành.
A. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 1} \right)}}{{2e}}\)
B. \(V = \frac{{\pi \left( {2e - 3} \right)}}{{2e}}\)
C. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}\)
D. \(V = \frac{{\pi \left( {e - 3} \right)}}{{2e}}\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(\sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {\sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} } \right]}^2}dx}\)
\(= \pi \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}dx} = \frac{\pi }{2}.{e^{{x^2} - 2x}}\left| \begin{array}{l} ^2\\ _1 \end{array} \right. = \frac{\pi }{2}\left( {1 - \frac{1}{e}} \right) = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}.\)
Thể tích cần tính là \(V = \pi \int\limits_1^2 {{{\left[ {\sqrt {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}} } \right]}^2}dx}\)
\(= \pi \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right){e^{{x^2} - 2x}}dx} = \frac{\pi }{2}.{e^{{x^2} - 2x}}\left| \begin{array}{l} ^2\\ _1 \end{array} \right. = \frac{\pi }{2}\left( {1 - \frac{1}{e}} \right) = \frac{{\pi \left( {e - 1} \right)}}{{2e}}.\)
Parabol y=\frac{x^2}{2} chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính bằng 2\sqrt{2}thành hai phần có diện tích là S_1 và S_2 trong đó S_1<S_2. Tìm tỉ số \frac{S_1}{S_2}.
A. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{21\pi - 2}}.\)
B. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
C. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{12\pi }}.\)
D. \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{9\pi - 2}}{{3\pi + 2}}.\)
Phương trình đường tròn tâm O bán kính \(R = 2\sqrt 2\) là:
\({x^2} + {y^2} = 8.\)
Giao điểm của Parabol và đường tròn là nghiệm hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 8\\ y = \frac{{{x^2}}}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = \pm 2\\ y = 2 \end{array} \right.\)
Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên.
Khi đó \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {8 - {x^2}} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)dx} = 2\pi + \frac{4}{3}.\)
Diện tích hình tròn là \(S = \pi {R^2} = 8\pi .\)
Suy ra \({S_2} = 8\pi - {S_1} = 6\pi - \frac{4}{3}.\)
Vậy \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{2\pi + \frac{4}{3}}}{{6\pi - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\pi + 2}}{{9\pi - 2}}.\)
Một chất điểm đang cuyển động với vận tốc \(v_0=15m/s\) thì tăng vận tốc với gia tốc \(a(t) = {t^2} + 4t\,(m/{s^2}).\) Tính quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.
A. 68,25 m
B. 70,25 m
C. 69,75 m
D. 67,25 m
Ta có \(v(t) = \int {a(t)dt = \int {({t^2} + 4t)dt = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + C\,\,(m/s)} }\)
Do khi bắt đầu tăng tốc \(v_0=15\) nên \(v(0) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v(t) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\)
Khi đó quãng đường đi được bằng
\(S = \int\limits_0^3 {v(t)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {15 + \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2}} \right)dt = \left. {\left( {15t + \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{2}{3}{t^3}} \right)} \right|_0^3 = 69,75\,\,m} .!\)
Do khi bắt đầu tăng tốc \(v_0=15\) nên \(v(0) = 15 \Rightarrow C = 15 \Rightarrow v(t) = \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2} + 15\)
Khi đó quãng đường đi được bằng
\(S = \int\limits_0^3 {v(t)dt} = \int\limits_0^3 {\left( {15 + \frac{{{t^3}}}{3} + 2{t^2}} \right)dt = \left. {\left( {15t + \frac{{{t^4}}}{{12}} + \frac{2}{3}{t^3}} \right)} \right|_0^3 = 69,75\,\,m} .!\)