Câu 1
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4.$
A. \({y_{CT}} = 1\)
B. \({y_{CT}} = 0\)
C. \({y_{CT}} = 4\)
D. \({y_{CT}} = 2\)
Câu 2
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và {x_0} \in \left( {a;b} \right) khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số.
B. Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 thì \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0.\)
C. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) \ne 0\)
Câu 3
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1 có hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6.\)
A. m = -1
B. m = 3
C. m = 1
D. m = -3
Câu 4
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x - m\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\) Tìm tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục tung.
A. \(A\left( {0; - 2} \right).\)
B. \(A\left( {0;2} \right).\)
C. \(A\left( {0; - 1} \right).\)
D. \(A\left( {0;1} \right).\)
Câu 5
Tìm giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5}}{{x + 2}}.\)
A. \(y_{CT}=-10\)
B. \(y_{CT}=2\)
C. \(y_{CT}=\frac{5}{2}\)
D. \(y_{CT}=6\)
Câu 6
Tìm m để hàm số y = {x^3} + 6{x^2} - 3\left( {m - 1} \right)x - m - 6 có cực đại, cực tiểu tại x_1, x_2 sao cho \({x_1} < 0 < {x_2}.\)
A. m < -1
B. m > 1
C. m > -1
D. m < 1
Câu 7
Cho hàm số \(y = x - \sin 2{\rm{x}} + 1.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
B. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại.
C. Hàm số nhận \(x = - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu.
D. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực đại.
Câu 175
Tìm các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + 4{m^3}\) có cực đại và cực tiểu đồng thời tổng các cực đại và cực tiểu có giá trị bằng 108.
A. \(m = 3.\)
B. \(m \ne 0.\)
C. \(m = 54.\)
D. \(m = - 3.\)
Câu 8
Đồ thị hàm số nào sau đây có một điểm cực tiểu?
A. \(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\)
B. \(y = - {x^4} - 2{x^2}.\)
C. \(y = - {x^3}.\)
D. \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\)
Câu 9
Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
A. \(d=4\)
B. \(d=2\sqrt{5}\)
C. \(d=2\sqrt{2}\)
D. \(d=\sqrt{10}\)
Câu 10
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị đường cong ở hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)?
A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2\).
B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\).
C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).
D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 4.$
A. \({y_{CT}} = 1\)
B. \({y_{CT}} = 0\)
C. \({y_{CT}} = 4\)
D. \({y_{CT}} = 2\)
\(\begin{array}{l} y' = 3{x^2} - 6x\\ y'' = 6x - 6\\ y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y''(0) = - 6 < 0\\ x = 2 \Rightarrow y''(x) = 6 > 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {y_{CT}} = y(2) = 0 \end{array}\)
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực đại
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x=2, giá trị cực đại
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và {x_0} \in \left( {a;b} \right) khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số.
B. Nếu hàm số đạt cực tiểu x0 thì \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0.\)
C. Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
D. Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) \ne 0\)
Hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) và \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\)
+ Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) > 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
+ Nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f''({x_0}) < 0\) thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + mx - 1 có hai điểm cực trị thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 6.\)
A. m = -1
B. m = 3
C. m = 1
D. m = -3
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + m\)
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình y' = 0
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}.{x_1} = \frac{m}{3} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6\\ \Rightarrow 4 - \frac{{2m}}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 3 < 3\,\,(Thoa\,DK). \end{array}\)
Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.
Điều này xảy ra khi: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow 9 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < 3\)
Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình y' = 0
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = 2\\ {x_1}.{x_1} = \frac{m}{3} \end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 6\\ \Rightarrow 4 - \frac{{2m}}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - 3 < 3\,\,(Thoa\,DK). \end{array}\)
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x - m\) đạt cực tiểu tại \(x = 0.\) Tìm tọa độ giao điểm A của đồ thị hàm số với trục tung.
A. \(A\left( {0; - 2} \right).\)
B. \(A\left( {0;2} \right).\)
C. \(A\left( {0; - 1} \right).\)
D. \(A\left( {0;1} \right).\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\\y'' = 2{\rm{x}} - 2\left( {m - 1} \right)\end{array} \right.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), khi đó:
\(y'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = 0\\m = 2 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow m = 2.\)
\(Suy\,\,ra\,\,y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 2} \right).\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), khi đó:
\(y'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = 0\\m = 2 \Rightarrow y''\left( 0 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow m = 2.\)
\(Suy\,\,ra\,\,y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 2 \Rightarrow A\left( {0; - 2} \right).\)
Tìm giá trị cực tiểu y_{CT} của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 5}}{{x + 2}}.\)
A. \(y_{CT}=-10\)
B. \(y_{CT}=2\)
C. \(y_{CT}=\frac{5}{2}\)
D. \(y_{CT}=6\)
Ta có:
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 2\\ x = - 5 \Rightarrow y = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = 2.\)
\(y' = \frac{{{x^2} + 4x - 5}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow y = 2\\ x = - 5 \Rightarrow y = - 10 \end{array} \right. \Rightarrow {y_{CT}} = 2.\)
Tìm m để hàm số y = {x^3} + 6{x^2} - 3\left( {m - 1} \right)x - m - 6 có cực đại, cực tiểu tại x_1, x_2 sao cho \({x_1} < 0 < {x_2}.\)
A. m < -1
B. m > 1
C. m > -1
D. m < 1
Ta có: \(y' = 3{x^2} + 12x - 3\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 1 - m = 0\,\left( 1 \right)\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại \(x_1, x_2\) sao cho \(x_1 <0<x_2\) thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:
Điểu này xảy ra khi: \(ac = 1 - m < 0 \Leftrightarrow m < 1\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại \(x_1, x_2\) sao cho \(x_1 <0<x_2\) thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt trái dấu:
Điểu này xảy ra khi: \(ac = 1 - m < 0 \Leftrightarrow m < 1\)
Cho hàm số \(y = x - \sin 2{\rm{x}} + 1.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
B. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực đại.
C. Hàm số nhận \(x = - \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực tiểu.
D. Hàm số nhận \(x = \frac{\pi }{2}\) làm điểm cực đại.
Ta có: \(y' = 1 - 2co{\rm{s2x}} \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\)
Theo các phương án ta chỉ cần kiêm tra tại \(x = \frac{\pi }{6}.\)
Mặt khác \(y'' = 4\sin 2{\rm{x}} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\sqrt 3 > 0 \Rightarrow \)hàm số nhận điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
Theo các phương án ta chỉ cần kiêm tra tại \(x = \frac{\pi }{6}.\)
Mặt khác \(y'' = 4\sin 2{\rm{x}} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 2\sqrt 3 > 0 \Rightarrow \)hàm số nhận điểm \(x = \frac{\pi }{6}\) làm điểm cực tiểu.
Tìm các giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} - 3m{{\rm{x}}^2} + 4{m^3}\) có cực đại và cực tiểu đồng thời tổng các cực đại và cực tiểu có giá trị bằng 108.
A. \(m = 3.\)
B. \(m \ne 0.\)
C. \(m = 54.\)
D. \(m = - 3.\)
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\) và có \({\rm{y'}} = 3{{\rm{x}}^2} - 6m{\rm{x;}}\,\,y' = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{x}}\left( {x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right..\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt hay \(m \ne 0.\)
Khi đó tọa độ các điểm cực trị của hàm số là\(A\left( {0;4{m^3}} \right),\,\,B\left( {2m;0} \right).\)
Ta có: \({y_{C{\rm{D}}}} + {y_{CT}} = 108 \Leftrightarrow 4{m^3} = 108 \Leftrightarrow m = 3.\)
Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt hay \(m \ne 0.\)
Khi đó tọa độ các điểm cực trị của hàm số là\(A\left( {0;4{m^3}} \right),\,\,B\left( {2m;0} \right).\)
Ta có: \({y_{C{\rm{D}}}} + {y_{CT}} = 108 \Leftrightarrow 4{m^3} = 108 \Leftrightarrow m = 3.\)
Đồ thị hàm số nào sau đây có một điểm cực tiểu?
A. \(y = \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\)
B. \(y = - {x^4} - 2{x^2}.\)
C. \(y = - {x^3}.\)
D. \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\)
Xét hàm số \(y = - \frac{4}{3}{x^3} - 2{x^2} + x.\)
Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0\)có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Kiểm tra tương tự với các hàm số khác.
Ta có: \(y' = - 4{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0\)có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu.
Kiểm tra tương tự với các hàm số khác.
Tính khoảng cách d giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).
A. \(d=4\)
B. \(d=2\sqrt{5}\)
C. \(d=2\sqrt{2}\)
D. \(d=\sqrt{10}\)
Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 2 \end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;2} \right);B\left( {2; - 2} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Vậy: \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5.\)
Vậy: \(AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5.\)
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\) và có đồ thị đường cong ở hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\)?
A. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = 2\).
B. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\).
C. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\).
D. Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).
Từ đồ thị ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1.\)