Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}}.\)

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp ABCD có \(2AB = 2AC = AD = 2a;\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {90^0}\). Gọi V1 là thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD, V2 là thể tích khối chóp ABCD. Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}}.\)
A. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \sqrt 6\)
B. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\)
C. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{3}{{\sqrt 6 }}\)
D. \(\frac{{{V_1}}}{{\pi {V_2}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

\(\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {90^0} \Rightarrow AD \bot BA \bot AC \Rightarrow BA \bot \left( {ACD} \right)\)
Gọi M, N là trung điểm CD và AB, từ M kẻ đường song song AB cắt mặt phẳng trung trực của AB tại O (N là trung điểm AB)
Suy ra O là tâm khối cầu ngoại tiếp khối chóp ABCD
Tính: \({V_2} = \frac{{AB.{S_{ACD}}}}{3} = \frac{{AB.AC.AD}}{6} = \frac{{{a^3}}}{3}\)
\(CM = \frac{{CD}}{2} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) và \(OM = \frac{{AB}}{2} = \frac{a}{2}\)
\(\Rightarrow R = OC = \sqrt {O{M^2} + C{M^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow {V_1} = \frac{{4\pi {R^3}}}{3} = \pi {a^3}\sqrt 6\)
\(\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi \sqrt 6 }}{3}.\)