Học lớp hướng dẫn giải
Gọi H là trọng tam tam giác BCD suy ra AH vuông góc (BCD)
Ta có:
\(\begin{array}{l} BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\\ AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} \end{array}\)
Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \frac{1}{3}.{S_{BCD}}.AH = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
Gọi G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD ta có:
\(d\left( {G,(ACD)} \right) = d\left( {G,(ABC)} \right) = d\left( {G,(ABD)} \right) = d\left( {G,(BCD)} \right) = r\)
Với r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD.
Mặt khác: \({V_{G.ACD}} + {V_{G.ABC}} + {V_{G.ABD}} + {V_{G.BCD}} = {V_{ABCD}}\)
Mà: \({S_{ACD}} = {S_{ABC}} = {S_{ABD}} = {S_{BCD}}\)
Suy ra: \({V_{G.ACD}} = {V_{G.ABC}} = {V_{G.ABD}} = {V_{G.BCD}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{V_{G.BCD}} = {V_{ABCD}} \Rightarrow 4.\frac{1}{3}{S_{BCD}}.d(G,(BCD)) = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\\ \Rightarrow d(G,(BCD)) = \frac{{a\sqrt 6 }}{{12}} = r \end{array}\)
Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp tứ diện là: \(S = 4\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{{12}}} \right)^2} = \frac{{\pi {a^2}}}{6}.\)
Lưu ý: Ở trên là cách giải tổng quát, với tứ diện đều ta có thể áp dụng ngay công thức bán kính đường tròn nội tiếp bằng \(\frac{h}{4}\) với h là chiều cao của tứ diện.
