Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh \(SA = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\) Gọi D là điểm đối xứng của B qua C. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(R = \frac{{a\sqrt {39} }}{7}.\)
B. \(R = \frac{{a\sqrt {35} }}{7}.\)
C. \(R = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\)
D. \(R = \frac{{a\sqrt {29} }}{6}.\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì \(SG \bot \left( {ABC} \right).\)
Do CB=CA=CD nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
Gọi \(I \in d\) là tâm mặt cầu cần tìm, đặt: \(IC = x \Rightarrow SK = \left| {SG - x} \right|.\)
Kẻ \(IK \bot SG\)
\(\Rightarrow IK = CG = AG = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3},{\rm{ }}SG = \sqrt {S{A^2} - A{G^2}} = a.\)
Ta có \(IS = ID \Leftrightarrow I{K^2} + S{K^2} = I{C^2} + C{D^2} \Leftrightarrow \frac{{{a^2}}}{3} + {\left( {a - x} \right)^2} = {x^2} + {a^2} \Rightarrow x = \frac{a}{6}.\)
Vậy tâm mặt cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là \(R = \sqrt {{x^2} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt {37} }}{6}.\)