Cho điểm \(A\left( {2;\,5;\,1} \right)\) và mặt phẳng \((P):6x + 3y - 2z + 24 = 0\), H là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng (P). Phương trình mặt cầu (S) có diện tích \(784\pi \) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu là:
A.\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196.\)
B.\({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y + 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196.\)
C.\({\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196.\)
D.\({\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196.\)
A.\({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196.\)
B.\({\left( {x + 8} \right)^2} + {\left( {y + 8} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 196.\)
C.\({\left( {x + 16} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 196.\)
D.\({\left( {x - 16} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 196.\)
Gọi d là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với (P). Suy ra \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = 5 + 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)
Vì H là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên (P) nên \(H = d \cap (P)\).
Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)\).
Mặt khác, \(H \in (P)\) nên ta có: \(6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Do đó, \(H\left( { - 4;\,2;\,3} \right)\).
Gọi \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng \(784\pi \), suy ra \(4\pi {R^2} = 784\pi \Rightarrow R = 14\).
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên \(IH \bot (P) \Rightarrow I \in d\).
Do đó tọa độ điểm \(I\) có dạng \(I\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)\), với \(t \ne - 1\).
Theo giả thiết, tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}d(I,(P)) = 14\\AI < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 14\\\sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}} < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\\ - 2 < t < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\)
Do đó: \(I\left( {8\,;\,8\,;\, - 1} \right)\).
Vậy phương trình mặt cầu \((S):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\).
Lựa chọn đáp án A.
Vì H là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên (P) nên \(H = d \cap (P)\).
Vì \(H \in d\) nên \(H\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)\).
Mặt khác, \(H \in (P)\) nên ta có: \(6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)
Do đó, \(H\left( { - 4;\,2;\,3} \right)\).
Gọi \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.
Theo giả thiết diện tích mặt cầu bằng \(784\pi \), suy ra \(4\pi {R^2} = 784\pi \Rightarrow R = 14\).
Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên \(IH \bot (P) \Rightarrow I \in d\).
Do đó tọa độ điểm \(I\) có dạng \(I\left( {2 + 6t;5 + 3t;1 - 2t} \right)\), với \(t \ne - 1\).
Theo giả thiết, tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}d(I,(P)) = 14\\AI < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {6\left( {2 + 6t} \right) + 3\left( {5 + 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) + 24} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {{( - 2)}^2}} }} = 14\\\sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}} < 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 3\end{array} \right.\\ - 2 < t < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1\)
Do đó: \(I\left( {8\,;\,8\,;\, - 1} \right)\).
Vậy phương trình mặt cầu \((S):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\).
Lựa chọn đáp án A.