Tính theo a diện tích xung quanh S của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a diện tích xung quanh S của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC?
A. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{3}\)
B. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{6}\)
C. \(S = \frac{{\pi {a^2}}}{3}\)
D. \(S = \frac{{5\pi {a^2}}}{{12}}\)

Gọi D là trung điểm AB.
L và M lần lượt là tâm của tam giác đều SAB và ABC.
Từ M và L dựng đường thẳng vuông góc với (SAB) và (ABC) cắt nhau tại I. I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Do CD vuông góc với (SA) nên CD // IM . Tương tự AD song song với IL nên tứ giấc MILD là hình bình hành.
Suy ra: \(IM = DL = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
Xét tam giác IMS vuông tại M có: \(IS = \sqrt {I{M^2} + M{S^2}} = \sqrt {\frac{5}{{12}}} a.\)
\(S = 4\pi {R^2} = 4\pi \frac{5}{{12}}{a^2} = \frac{{5\pi {a^2}}}{3}.\)