Tính thể tích V của nước còn lại trong bình

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Người ta thả vào đó một khối cầu có đường kính bằng chiều cao của bình nước và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là \(18\pi (dm^3)\) . Biết rằng khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón và đúng một nửa của khối cầu chìm trong nước (hình bên). Tính thể tích V của nước còn lại trong bình.

A. \(V = 6\pi \left( {d{m^3}} \right)\)
B. \(V = 12\pi \left( {d{m^3}} \right)\)
C. \(V = 54\pi \left( {d{m^3}} \right)\)
D. \(V = 24\pi \left( {d{m^3}} \right)\)

Xét mặt cắt và các điểm như hình vẽ.
Đường kính khối cầu bằng chiều cao bình nước nên \(OS=2OM\)
Ta có thể tích nước tràn ra là thể tích của nửa quả cầu chìm trong bình nước: \(18\pi = \frac{{{V_C}}}{2} = \frac{{2\pi O{M^3}}}{3} \Leftrightarrow OM = 3\)
Áp dụng \(\frac{1}{{O{M^2}}} = \frac{1}{{O{S^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Rightarrow OB = 12\)
Thể tích nước ban đầu là thể tích bình nước hình nón: \({V_n} = \frac{{\pi O{B^2}OS}}{3} = 24\pi\)
Thể tích nước còn lại là: \(24\pi - 18\pi = 6\pi\) .