Các nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình ${\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x = \frac{3}{8}$ là:
A. $\frac{\pi }{6},\frac{{5\pi }}{6}$.
B. $\frac{\pi }{8},\frac{{5\pi }}{8}$.
C. $\frac{\pi }{{12}},\frac{{5\pi }}{{12}}$.
D. $\frac{\pi }{{24}},\frac{{5\pi }}{{24}}$.
A. $\frac{\pi }{6},\frac{{5\pi }}{6}$.
B. $\frac{\pi }{8},\frac{{5\pi }}{8}$.
C. $\frac{\pi }{{12}},\frac{{5\pi }}{{12}}$.
D. $\frac{\pi }{{24}},\frac{{5\pi }}{{24}}$.
Chọn D
Phương trình $ \Leftrightarrow $ ${\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x = \frac{3}{8}$
$ \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) + {\cos ^3}x\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) = \frac{3}{8}$
$ \Leftrightarrow 3\sin x.{\cos ^3}x - 3\cos x.{\sin ^3}x = \frac{3}{8} \Leftrightarrow \sin x.{\cos ^3}x - \cos x.{\sin ^3}x = \frac{1}{8}$
$ \Leftrightarrow 8\sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow 4\sin 2x.\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \sin 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Do $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình là $\frac{\pi }{{24}},\frac{{5\pi }}{{24}}$.
Phương trình $ \Leftrightarrow $ ${\sin ^3}x.\cos 3x + {\cos ^3}x.\sin 3x = \frac{3}{8}$
$ \Leftrightarrow {\sin ^3}x\left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) + {\cos ^3}x\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) = \frac{3}{8}$
$ \Leftrightarrow 3\sin x.{\cos ^3}x - 3\cos x.{\sin ^3}x = \frac{3}{8} \Leftrightarrow \sin x.{\cos ^3}x - \cos x.{\sin ^3}x = \frac{1}{8}$
$ \Leftrightarrow 8\sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) = 1 \Leftrightarrow 4\sin 2x.\cos 2x = 1 \Leftrightarrow \sin 4x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{{5\pi }}{{24}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Do $x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ nên nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$ của phương trình là $\frac{\pi }{{24}},\frac{{5\pi }}{{24}}$.