Phương trình $\frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} = \sqrt 3 $ có nghiệm là:
A. $x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}$.
B. $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$.
C. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k\frac{\pi }{2}$.
D. $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
A. $x = \frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2}$.
B. $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$.
C. $x = \frac{{2\pi }}{3} + k\frac{\pi }{2}$.
D. $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.
Chọn D
Điều kiện $\cos x + \cos 2x + \cos 3x \ne 0$$ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + \cos 2x \ne 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\2\cos x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x \ne \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \end{array} \right.$
Phương trình $ \Leftrightarrow \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sqrt 3 \left( {\cos x + \cos 2x + \cos 3x} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos x + \sin 2x = \sqrt 3 \left( {2\cos 2x.\cos x + \cos 2x} \right)$$ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \sqrt 3 \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x + 1 = 0\\\sin 2x - \sqrt 3 \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
So sánh với điều kiện, ta có $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Chú ý trong họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$. (Với $k = 1$ thì $x = \frac{{2\pi }}{3}$ làm mẫu không xác định)
Điều kiện $\cos x + \cos 2x + \cos 3x \ne 0$$ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x + \cos 2x \ne 0$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\2\cos x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\\x \ne \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \end{array} \right.$
Phương trình $ \Leftrightarrow \sin x + \sin 2x + \sin 3x = \sqrt 3 \left( {\cos x + \cos 2x + \cos 3x} \right)$
$ \Leftrightarrow 2\sin 2x.\cos x + \sin 2x = \sqrt 3 \left( {2\cos 2x.\cos x + \cos 2x} \right)$$ \Leftrightarrow \sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right) = \sqrt 3 \cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\cos x + 1 = 0\\\sin 2x - \sqrt 3 \cos 2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\\\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi \\x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
So sánh với điều kiện, ta có $x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,\,\,x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$
Chú ý trong họ nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\frac{\pi }{2}$. (Với $k = 1$ thì $x = \frac{{2\pi }}{3}$ làm mẫu không xác định)