Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Xét một hộp bóng bàn có dạng hình hộp chữ nhật. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng bàn được xếp theo chiều dọc, các quả bóng bàn có kích thước như nhau. Phần không gian còn trống trong hộp chiếm bao nhiêu % thể tích hình hộp.
A. 65,09%
B. 47,64%
C. 82,55%
D. 83,3%

Gọi bán kính quả bóng bàn là r. Gọi hình hộp chữ nhật chứa ba quả bóng bàn là ABCD.A’B’C’D’. Với ABCD là hình vuông, khi đó AA' = 6r và AB = 2r
Thể tích của ba quả bóng bàn là \(\Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AA'.{S_{ABCD}} = 6r.4{r^2} = 24{r^3}\)
\({V_{bb}} = 3.\frac{4}{3}\pi {r^3} \Rightarrow {V_{kg}} = {V_{ABCD.A'B'C'D'}} - {V_{bb}} = \left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right){r^3}\)
Khi đó, thể tích phần không gian trống trong hộp chiếm:\(\frac{{{V_{kg}}}}{{{V_{ABCD.A'B'C'D'}}}} = \frac{{\left( {24 - 3.\frac{4}{3}\pi } \right)}}{{24}} = 47,64\% .\)