Cho hai mặt phẳng $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ có phương trình $\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0$ và $\left( Q \right):2x + y - z + 3 = 0.$ Mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và có hoành độ \({x_M} = 1\), có phương trình là:
A. ${\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 600.$
B. ${\left( {x + 19} \right)^2} + {\left( {y + 15} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 600.$
C. ${\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 100.$
D. ${\left( {x + 21} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 600.$
Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $M \in \left( Q \right)$ \( \Rightarrow M\left( {1; - 5;0} \right)\).
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có (S) tiếp xúc với mp $\left( Q \right)$ tại M nên \(IM \bot \left( Q \right)\).
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)$.
Ta có: $IM \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} = t\overrightarrow n ,{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + 2t\\b = - 5 + t\\c = - t\end{array} \right.$
\(I \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 5 + t} \right) - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \Rightarrow I\left( {21;5; - 10} \right).\)
Bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 10\sqrt 6 .\)
Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 600$.
Lựa chọn đáp án A.
A. ${\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 600.$
B. ${\left( {x + 19} \right)^2} + {\left( {y + 15} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 600.$
C. ${\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 100.$
D. ${\left( {x + 21} \right)^2} + {\left( {y + 5} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 600.$
Hướng dẫn giải
Vì $M \in \left( {Oxy} \right)$ và có hoành độ bằng 1 nên \(M\left( {1;y;0} \right)\).Lại có, mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng $\left( Q \right)$ nên $M \in \left( Q \right)$ \( \Rightarrow M\left( {1; - 5;0} \right)\).
Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm.
Ta có (S) tiếp xúc với mp $\left( Q \right)$ tại M nên \(IM \bot \left( Q \right)\).
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)$.
Ta có: $IM \bot \left( Q \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} = t\overrightarrow n ,{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 + 2t\\b = - 5 + t\\c = - t\end{array} \right.$
\(I \in \left( P \right) \Leftrightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 5 + t} \right) - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 10 \Rightarrow I\left( {21;5; - 10} \right).\)
Bán kính mặt cầu \(R = d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 10\sqrt 6 .\)
Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 21} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 10} \right)^2} = 600$.
Lựa chọn đáp án A.