Dạng 4: Điểm và Hypebol

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Với Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Lấy điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(H) suy ra $\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} - \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}$ = 1.
  • Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Chuyển phương trình Hypebol về dạng tham số: (H): $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{{\cos t}}\\y = btgt\end{array} \right.$, t∈[0, 2π)\{$\frac{\pi }{2}$, $\frac{{3\pi }}{2}$}.
  • Bước 2: Điểm M∈(H) ⇒ M(a.sint, b.cost).
  • Bước 3: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau:
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: Điểm M(x, y)∈(H) luôn có:
  • a. F$_1$M = $\frac{{cx}}{a}$ + a và F$_2$M = $\frac{{cx}}{a}$ - a với x > 0.
  • b. F$_1$M = - $\frac{{cx}}{a}$ - a và F$_2$M = - $\frac{{cx}}{a}$ + a với x < 0.
2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đưa bài toán về xét hệ thức lượng trong tam giác.
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm.

Thí dụ 1. Cho Hyperbol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài F$_1$M (tiêu điểm F$_1$( - c, 0)) ngắn nhất, dài nhất.
Lấy M(x$_0$, y$_0$)∈(H), suy ra: $\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} - \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1$ ⇔ $x_0^2$ = a2(1 + $\frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}$)≥a2 ⇒ |x$_0$|≥a.
Ta có: F$_1$M = |$\frac{{c{x_0}}}{a}$ + a|≥|$ - \frac{{ca}}{a}$ + a| = | - c + a| = c - a.
Vây, F$_1$M$_{Min}$ = c - a, đạt được khi M≡A$_1$(-a, 0).

Thí dụ 2. Cho Hyperbol (H): $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$. Tìm điểm M trên (H) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên.
b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 90$^0$.
a. Ta chỉ cần tìm các cặp (x, y) nguyên không âm, khi đó các nghiệm còn lại là (x, -y), (-x, y), (-x, -y). Ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 16{y^2} = 144\\x,y \in {Z^ + }\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}(3x + 4y)(3x - 4y) = 144\\x,y \in {Z^ + }\\3x + 4y \ge 3x - 4y\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.$.
Vậy có hai điểm trên (H) có toạ độ nguyên là M9( - 4, 0), M10(4, 0).

b. MF$_1$⊥MF$_2$ ⇒ M thuộc đường tròn (C) đường kính F$_1$F$_2$ = 10 có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ = 25.
Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1\\x_0^2 + y_0^2 = 1\end{array} \right.$
ta được bốn điểm: M1($\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, $\frac{9}{5}$), M2(-$\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, $\frac{9}{5}$), M3($\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, -$\frac{9}{5}$), M4(-$\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, -$\frac{9}{5}$),
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook