Phương pháp thực hiện
Phương trình: Ax + By + C = 0 là phương trình của một đường thẳng khi và chỉ khi A$^2$ + B$^2$ > 0.
Chú ý: Đi kèm với họ đường thẳng (d$_m$) thường có thêm các câu hỏi phụ:
a. Với câu hỏi 1, ta thực hiện theo các bước:
Bước 1: Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (d$_m$) không đi qua, khi đó: Ax + By + C = 0 vô nghiệm m
Bước 2: Thiết lập điều kiện vô nghiệm ⇒ (x, y).
Ở đây cần nhớ lại:
Phương trình: Ax + By + C = 0 là phương trình của một đường thẳng khi và chỉ khi A$^2$ + B$^2$ > 0.
Chú ý: Đi kèm với họ đường thẳng (d$_m$) thường có thêm các câu hỏi phụ:
- Câu hỏi 1: Chứng minh rằng họ đường thẳng (d$_m$) luôn đi qua một điểm cố định.
- Câu hỏi 2: Tìm các điểm mà họ (d$_m$) không đi qua.
a. Với câu hỏi 1, ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Giả sử M(x$_0$, y$_0$) là điểm cố định của họ (d$_m$), khi đó: Ax$_0$ + By$_0$ + C = 0 ∀m
- Bước 2: Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ⇒ (x$_0$, y$_0$).
- Bước 3: Kết luận.
Bước 1: Giả sử M(x, y) là điểm mà họ (d$_m$) không đi qua, khi đó: Ax + By + C = 0 vô nghiệm m
Bước 2: Thiết lập điều kiện vô nghiệm ⇒ (x, y).
Ở đây cần nhớ lại:
- Phương trình am + b = 0 vô nghiệm m ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b \ne 0\end{array} \right.$.
- Phương trình am2 + bm + c = 0 (a ≠ 0) vô nghiệm m ⇔ Δ$_m$ < 0.
- Phương trình acosm + bsinm = c vô nghiệm m ⇔ a$^2$ + b$^2$ < c$^2$.
Thí dụ 1. Tìm điều kiện của m để phương trình sau là phương trình đường thẳng: mx + (m$^2$ - 2m)y - 3 = 0.
Giải
Phương trình trên là phương trình của đường thẳng khi và chỉ khi: A$^2$ + B$^2$ > 0 ⇔ m$^2$ + (m$^2$ - 2m)$^2$ > 0 ⇔ m$^2$(m$^2$ - 4m + 5)$^2$ > 0 ⇔ m ≠ 0.Vậy, với m ≠ 0 phương trình đã cho là phương trình của đường thẳng.
Thí dụ 2. Cho phương trình mx + (m - 2)y - m = 0. (1)
a. Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) là phương trình của một đường thẳng, gọi là họ (d$_m$).
b. Tìm điểm cố định mà họ (d$_m$) luôn đi qua.
Giải
a. Ta có: A$^2$ + B$^2$ = m$^2$ + (m - $^2$)$^2$ = 2m$^2$ - 4m + 4 = 2(m - 1)$^2$ + 2> 0, ∀m.Vậy với mọi m phương trình đã cho là phương trình của một đường thẳng.
b. Giả sử M(x$_0$, y$_0$) là điểm cố định mà họ (d$_m$) luôn đi qua ⇔ mx$_0$ + (m - 2)y$_0$ - m = 0, ∀m ⇔ m(x$_0$ + y$_0$ - 1) - 2y$_0$ = 0, ∀m
⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} + {y_0} - 1 = 0\\ - 2{y_0} = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 0\end{array} \right.$.
Vậy họ (d$_m$) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0).
Thí dụ 3. Tìm tập hợp các điểm của mặt phẳng không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ đường thẳng (dm): (m + 1)x - y + m$^2$ - m = 0.
Giải
Gọi M(x; y) là điểm mà họ (dm) không đi qua ⇔ (m + 1)x - y + m$^2$ - m = 0 vô nghiệm m⇔ m$^2$ + m(x - 1) + x - y = 0 vô nghiệm m
⇔ Δ$_m$ < 0 ⇔ (x - 1)$^2$ - 4(x - y) < 0 ⇔ x$^2$ - 6x + 4y + 1 < 0.
Vậy, tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn x$^2$ - 6x + 4y + 1 < 0 không thuộc bất cứ đường thẳng nào của họ (dm).
Sửa lần cuối: