Dạng 3: Xét vị trí tương đối của điểm, đường thẳng, Elíp và Hypebol

Thí dụ 1. Cho Hyperbol (H) và đường thẳng (d) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1$ và (d): x - y - 2 = 0.
a. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài AB.
b. Tìm toạ độ điểm C thuộc (H) sao cho:
- ΔABC có diện tích bằng 4.
- ΔABC cân tại A.
- ΔABC vuông tại A.
a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (H):
$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{8} = 1\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}A( - 6, - 8)\\B(2,0)\end{array} \right.$⇒ độ dài AB = $8\sqrt 2 $.
b. Lấy C(x$_0$, y$_0$)∈(H), suy ra $\frac{{x_0^2}}{4} - \frac{{y_0^2}}{8} = 1$. (1)
Ta có: SΔABC = $\frac{1}{2}$AB.CH ⇔ 4 = $4CH\sqrt 2 $⇔ CH = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$.
Mặt khác: CH = d(C, (d)) ⇔ $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$|x$_0$ - y$_0$ - 1| ⇔ x$_0$ - y$_0$ - 1 = ±1. (2)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (2) - Dành cho bạn đọc.
(ΔABC cân tại A): Ta có thể lựa chọn một trong ba cách sau:
Cách 1: (Sử dụng phương trình điều kiện): ΔABC cân tại A suy ra: AB = AC ⇔ AB$^2$ = AC$^2$. (3)
Giải hệ phương trình tạo bởi (1), (3) - Dành cho bạn đọc.
Cách 2: (Sử dụng phép đánh giá): ΔABC cân tại A suy ra B, C đối xứng nhau qua Ox ⇒ C - Dành cho bạn đọc.
 ΔABC vuông tại A thực hiện tương tự câu ΔABC cân tại A.
Thí dụ 2. Cho Elíp (E) và Hypebol (H) có phương trình:
(E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$và (H): $\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.
Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của hai Hyperbol.
Ta có (E)∩(H) = {A,B,C,D} đối xứng với nhau qua O (bởi (E1) và (E2) đều nhận O làm tâm đối xứng).
Vậy đường tròn đi qua A, B, C, D nhận O làm tâm và bán kính R$^2$ = OA$^2$ = $x_A^2 + y_A^2$.
Toạ độ điểm A(xA, yA) là nghiệm hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + 9{y^2} = 36\\4{x^2} - {y^2} = 4\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x_A^2 = 9/5\\y_A^2 = 16/5\end{array} \right.$ ⇒ R$^2$ = $x_A^2 + y_A^2$ = 5.
Vậy, phương trình đường tròn đi qua A, B, C, D có dạng: (C): x$^2$ + y$^2$ = 5.

Thí dụ 3. Cho Hypebol (H) : $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$. Chứng minh rằng diện tích hình bình hành tạo bởi các tiệm cận của Hyperbol (H) và các đường thẳng kẻ từ một điểm trên (H) lần lượt song song với các tiệm cận là một hằng số.
Gọi α là góc tạo bởi đường đường tiệm y = $\frac{4}{3}$x với trục Ox. Ta có: tanα = $\frac{4}{3}$ và sin2α = $\frac{{2\tan \alpha }}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}$ = $\frac{{24}}{{25}}$.
SOPMQ = OP.OQ.sin2α = $\frac{{24}}{{25}}$OP.OQ ⇒ OP.OQ = $\frac{{25}}{{24}}$SOPMQ
Mặt khác: ${S_{OPMQ}} = OQ.{h_1} = OP.{h_2} \Rightarrow S_{OPMQ}^2 = OP.OQ.{h_1}.{h_2}$ = $\frac{{25}}{{24}}$. S$_{OPMQ}$. $\frac{{144}}{{25}}$
⇔ S$_{OPMQ}$ = 6 không đổi.