I. ĐƯỜNG THẲNG
1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1: Một vectơ $\overrightarrow a $ khác $\overrightarrow 0 $ gọi là vectơ chỉ phương (viết tắt vtcp) của đường thẳng (d) nếu giá của $\overrightarrow a $ song song hoặc trùng với (d).
Nhận xét:
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow a ({a_1},{a_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\end{array} \right.$ , t ∈ \(\mathbb{R}\).
Phương trình (1) với điều kiện $a_1^2$ + $a_2^2$ > 0 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Các trường hợp riêng:
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow a ({a_1},{a_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}$ = $\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}$.
Từ đó, đường thẳng (d) đi qua hai điểm M$_1$(x$_1$; y$_1$) và M$_2$(x$_2$; y$_2$), ta có: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_1}({x_1},{y_1})\\Qua\,\,{M_2}({x_2},{y_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$ = $\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$.
4. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 2: Một vectơ $\vec n$ khác $\overrightarrow 0 $ gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) của đường thẳng (d) nếu giá của $\vec n$ vuông góc với (d).
Nhận xét:
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtpt\,\overrightarrow n (A,B)\end{array} \right.$ ⇔ (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = $_0$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng: (d): Ax + By + C = 0, với A$^2$ + B$^2$ > 0 và nó có:
Lưu ý: Bản thân trục Ox có phương trình y = 0.
Lưu ý: Bản thân trục Oy có phương trình x = 0.
Lưu ý: Để đưa phương trình tổng quát của đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 về phương trình pháp dạng ta chỉ cần chia hai vế của phương trình cho $\sqrt {{A^2} + {B^2}} $, rồi đặt: A0 = $\frac{A}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$, B0 = $\frac{B}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$ và C0 = $\frac{C}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng (d$_1$) và (d$_2$) có phương trình (d$_1$): A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0 và (d$_2$): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0 bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2), ta có kết quả:
Phương trình (3) được gọi là phương trình của chùm đường thẳng, điểm I gọi là tâm của chùm.
Ta thường dùng phương trình của chùm đường thẳng để giải các bài toán dạng: " Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho và thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó.
7. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Gọi α = g((d$_1$),(d$_2$)), 0 ≤ α ≤ 90$^0$.
8. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và đường thẳng (d) có phương trình (d): Ax + By + C = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi: d(M, (d)) = $\frac{{|A{x_M} + B{y_M} + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.
Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(xM, yM) tới đường thẳng (d) được định nghĩa: tM = $\overline {HM} $ = $\frac{{A{x_M} + B{y_M} + C}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.
9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Định lý 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng
(d$_1$): A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0,
(d$_2$): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0.
Khi đó phương trình hai đường phân giác (Δ$_1$) và (Δ$_2$) của các góc tạo bởi (d1) và (d2) là: $\frac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} }}$ = ± $\frac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$.
Chú ý: Nếu (d1) và (d2) không vuông góc với nhau thì (d1) tạo với (d2) hai góc nhọn và hai góc tù, khi đó ta có thể xác đinh phương trình đường phân giác của góc nhọn hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:
trong đó:
1. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R có phương trình: (C): (x - a)$^2$ + (y - b)$^2$ = R$^2$. (1)
Vậy, ta được: (C): $\left\{ \begin{array}{l}Tam\,\,\,I(a;b)\\B\,\,kinh\,\,R\end{array} \right.$ ⇔ (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Chú ý: Ta có:
Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình (C): x$^2$ + y$^2$ - $^2$ax - $^2$by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0 (2)
là phương trình của đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0; y0) của đường tròn (C): (x - a)$^2$ + (y - b)$^2$ = R$^2$ có phương trình: (d): (x - a)(x$_0$ - a) + (y - b)(y$_0$ - b) = R$^2$. (5)
Chú ý:
Cho đường tròn (C) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0.
Phương tích của điểm M(x0, y0) đối với đường tròn (C) được xác định bởi: P$_{M/(C)}$ = $x_0^2$ + $y_0^2$ - 2ax$_0$ - 2by$_0$ + c
Từ giá trị về dấu của PM/(O) ta xác định được vị trí của điểm M đối với (C)
Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): x$^2$ + y$^2$ - $^2$a$_1$x - $^2$b$_1$y + c$_1$ = 0, với $a_1^2 + b_1^2 - {c_1}$≥ 0
(C2): x$^2$ + y$^2$ - $_2$a$_2$x - $_2$b$_2$y + c$_2$ = 0, với $a_2^2 + b_2^2 - {c_2}$≥ 0
Khi đó tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường tròn (C1) và (C2) là đường thẳng (d), gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình: (d): 2(a$_1$ - a$_2$)x + 2(b$_1$ - b$_2$)y - c$_1$ + c$_2$ = 0.
III. ELÍP
6. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)∈(E) là 2a (a > c) có phương trình:
(E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với b$^2$ = a$^2$ - c$^2$.
Chú ý: Điểm M(x, y)∈(E) luôn có: F$_1$M = a + $\frac{{cx}}{a}$ và F$_2$M = a - $\frac{{cx}}{a}$.
7. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ELÍP
Elíp (E) có phương trình chính tắc: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
được chuyển về dạng tham số: (E): $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{a} = \sin t\\\frac{y}{b} = \cos t\end{array} \right.$, t ∈ [0, 2π) ⇔ (E): $\left\{ \begin{array}{l}x = a\sin t\\y = b\cos t\end{array} \right.$, t ∈ [0; 2π). (*)
Phương trình (*) được gọi là phương trình tham số dạng lượng giác của Elíp (E).
Ta biết rằng, nếu đặt z = tan$\frac{t}{2}$ thì: sint = $\frac{{2z}}{{1 + {z^2}}}$ và cost = $\frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$, do đó (*) có thể được viết dưới dạng:
(E):$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2az}}{{1 + {z^2}}}\\y = \frac{{b(1 - {z^2})}}{{1 + {z^2}}}\end{array} \right.$, z ∈ \(\mathbb{R}\). (**)
Phương trình (**) được gọi là phương trình tham số dạng đại số của (E).
8. HÌNH DẠNG CỦA ELÍP
Với Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b > 0.
ta xét các tính chất hình học của (E) bằng cách xét các tính chất đại số tương ứng của phương trình trên.
a. Phương trình của (E) có bậc chẵn đối với x và y nên:
c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x = ± a và các đường thẳng y = ±b được gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E). Vậy Elíp (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thước là 2a, 2b.
d. Từ M(x; y) ∈ (E) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \le 1\\\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|x| \le a\\|y| \le b\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - a \le x \le a\\ - b \le y \le b\end{array} \right.$.
9. TÂM SAI CỦA ELÍP
Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp.
IV. HYPEBOL
10. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1( - c; 0), F2(c; 0) và có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y) ∈ (H) là 2a (a > c) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với b$^2$ = c$^2$ - a$^2$.
Chú ý: Điểm M(x; y) ∈ (H) luôn có:
11. HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL
Với Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
ta xét các tính chất hình học của (H) bằng cách xét các tính chất đại số tương ứng của phương trình trên.
c. Phương trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên:
e. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x = ±a và các đường thẳng y = ± b được gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H).
f. Từ M(x; y) ∈ (H) suy ra: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$ ≥ 1 ⇔ |x| ≥ a ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.$.
Như vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau.
b. Cách dựng Hyperbol (H)
Định nghĩa 3. Hai Hyperbol có phương trình: (H1): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và (H2): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = -1
gọi là hai Hyperbol liên hợp.
Chú ý: Hai Hyperbol liên hợp:
13. TÂM SAI CỦA HYPEBOL
Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của Hypebol.
V. PARABOL
14. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA PARABOL
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Parabol (P) có hai tiêu điểm F($\frac{p}{2}$; 0) và đường chuẩn (d): x = -$\frac{p}{2}$ có phương trình (P): y$^2$ = 2px.
Chú ý: Điểm M(x; y) ∈ (P) luôn có FM = x + $\frac{p}{2}$.
15. HÌNH DẠNG CỦA PARABOL
Với Parabol (P) có phương trình: (P): y$^2$ = 2px, với p > 0.
Các thuộc tính của (P) gồm:
(P): y$^2$ = - 2px,
(P): x$^2$ = ± 2py.
VI. BA ĐƯỜNG CÔNÍC
Định nghĩa: Đường chuẩn của Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm F$_i$ (i = 1,2) là đường thẳng (Δ$_i$) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm về cùng một phía với F$_i$ đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn $\frac{a}{e}$ với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực).
a. Với Elíp (E) có phương trình (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$với a > b, ta có:
ta có:
Đường chuẩn của cả ba đường Conic đều có tình chất chung sau đây:
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường Conic là khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai e của đường Conic đó.
Định nghĩa 2: Đường Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đường thẳng cố định không đi qua điểm cố định ấy, bằng một hằng số dương e.
Hằng số dương e chính là tâm sai của đường Côníc (C).
1. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1: Một vectơ $\overrightarrow a $ khác $\overrightarrow 0 $ gọi là vectơ chỉ phương (viết tắt vtcp) của đường thẳng (d) nếu giá của $\overrightarrow a $ song song hoặc trùng với (d).
Nhận xét:
- Nếu $\overrightarrow a $ là vtcp của đường thẳng (d) thì mọi vectơ k$\overrightarrow a $ với k ≠ 0 đều là vtpt của (d).
- Nếu $\overrightarrow a $(a1; a2) là vtcp của đường thẳng (d) thì với a1 ≠ 0 ta gọi k = $\frac{{{a_2}}}{{{a_1}}}$ là hệ số góc của đường thẳng (d).
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định khi biết một vtcp của nó và một điểm mà nó đi qua.
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow a ({a_1},{a_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0} + {a_2}t\end{array} \right.$ , t ∈ \(\mathbb{R}\).
Phương trình (1) với điều kiện $a_1^2$ + $a_2^2$ > 0 được gọi là phương trình tham số của đường thẳng.
Các trường hợp riêng:
- Nếu a1 = 0, ta được: (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0}\\y = {y_0} + {a_2}t\end{array} \right.$, t ∈ \(\mathbb{R}\) là đường thẳng có vtcp $\overrightarrow a $(0; a2) do đó nó vuông góc với Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ x$_0$.
- Nếu a2 = 0, ta được: (d): $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\y = {y_0}\end{array} \right.$, t ∈ \(\mathbb{R}\) là đường thẳng có vtcp $\overrightarrow a $(a1; 0) do đó nó vuông góc với Oy, cắt Oy tại điểm có tung độ y$_0$.
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtcp\,\overrightarrow a ({a_1},{a_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_0}}}{{{a_1}}}$ = $\frac{{y - {y_0}}}{{{a_2}}}$.
Từ đó, đường thẳng (d) đi qua hai điểm M$_1$(x$_1$; y$_1$) và M$_2$(x$_2$; y$_2$), ta có: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_1}({x_1},{y_1})\\Qua\,\,{M_2}({x_2},{y_2})\end{array} \right.$ ⇔ (d): $\frac{{x - {x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}$ = $\frac{{y - {y_1}}}{{{y_2} - {y_1}}}$.
4. VECTƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 2: Một vectơ $\vec n$ khác $\overrightarrow 0 $ gọi là vectơ pháp tuyến (viết tắt vtpt) của đường thẳng (d) nếu giá của $\vec n$ vuông góc với (d).
Nhận xét:
- Nếu $\vec n$ là vtpt của đường thẳng (d) thì mọi vectơ k$\vec n$ với k ≠ 0 đều là vtpt của (d).
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định khi biết một vtpt của nó và một điểm mà nó đi qua.
Ta có kết quả: (d): $\left\{ \begin{array}{l}Qua\,\,{M_0}({x_0},{y_0})\\vtpt\,\overrightarrow n (A,B)\end{array} \right.$ ⇔ (d): A(x - x$_0$) + B(y - y$_0$) = $_0$.
Phương trình tổng quát của đường thẳng: (d): Ax + By + C = 0, với A$^2$ + B$^2$ > 0 và nó có:
- vtpt $\vec n$(A; B), vtcp $\overrightarrow a $(B; -A).
- hệ số góc k = -$\frac{A}{B}$, với B ≠ 0.
- Nếu A = 0, ta được: (d): By + C = 0 ⇔ (d): y = - $\frac{C}{B}$ là đường thẳng có vtpt $\vec n$(0; B) do đó nó vuông góc với Oy, cắt Oy tại điểm có tung độ - $\frac{C}{B}$.
- Nếu B = 0, ta được: (d): Ax + C = 0 ⇔ (d): x = - $\frac{C}{A}$ là đường thẳng có vtpt $\vec n$(A; 0) do đó nó vuông góc với Ox, cắt Ox tại điểm có hoành độ - $\frac{C}{A}$.
- Nếu C = 0, ta được (d): Ax + By = 0 là đường thẳng có vtpt $\vec n$(A; B) và đi qua gốc toạ độ O.
- Nếu A$^2$ + B$^2$ = 1, thì (4) được gọi là phương trình pháp dạng của đường thẳng.
6. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Cho hai đường thẳng (d$_1$) và (d$_2$) có phương trình (d$_1$): A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0 và (d$_2$): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0 bằng việc xét hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2), ta có kết quả:
a. Nếu $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}$ = $\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ ≠ $\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ ⇔ (d1) // (d2).
b. Nếu $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}$ = $\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ = $\frac{{{C_1}}}{{{C_2}}}$ ⇔ (d1) ≡ (d2).
c. Nếu $\frac{{{A_1}}}{{{A_2}}}$ ≠ $\frac{{{B_1}}}{{{B_2}}}$ ⇔ (d1) cắt (d2) tại điểm I.
trong trường hợp này mọi đường thẳng đi qua I đều có dạng: α(A$_1$x + B$_1$y + C$_1$) + β(A$_2$x + B$_2$y + C$_2$) = 0 (3) với α$^2$ + β$^2$ > 0Phương trình (3) được gọi là phương trình của chùm đường thẳng, điểm I gọi là tâm của chùm.
Ta thường dùng phương trình của chùm đường thẳng để giải các bài toán dạng: " Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng đã cho và thoả mãn thêm điều kiện K " mà không cần tìm toạ độ giao điểm đó.
7. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Gọi α = g((d$_1$),(d$_2$)), 0 ≤ α ≤ 90$^0$.
- Gọi $\vec a$, $\vec b$ theo thứ tự là vtcp của (d$_1$), (d$_2$), khi đó: cosα = $\frac{{|\vec a.\vec b|}}{{|\vec a|.|\vec b|}}$. (4)
- Gọi k$_1$, k$_2$ theo thứ tự là hệ số góc của (d$_1$), (d$_2$), khi đó: tgα = $\left| {\frac{{{k_1} - {k_2}}}{{1 + {k_1}{k_2}}}} \right|$. (5)
8. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(xM, yM) và đường thẳng (d) có phương trình (d): Ax + By + C = 0.
Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi: d(M, (d)) = $\frac{{|A{x_M} + B{y_M} + C|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.
Chú ý: Khoảng cách đại số từ M(xM, yM) tới đường thẳng (d) được định nghĩa: tM = $\overline {HM} $ = $\frac{{A{x_M} + B{y_M} + C}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}$.
9. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC
Định lý 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng
(d$_1$): A$_1$x + B$_1$y + C$_1$ = 0,
(d$_2$): A$_2$x + B$_2$y + C$_2$ = 0.
Khi đó phương trình hai đường phân giác (Δ$_1$) và (Δ$_2$) của các góc tạo bởi (d1) và (d2) là: $\frac{{{A_1}x + {B_1}y + {C_1}}}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2} }}$ = ± $\frac{{{A_2}x + {B_2}y + {C_2}}}{{\sqrt {A_2^2 + B_2^2} }}$.
Chú ý: Nếu (d1) và (d2) không vuông góc với nhau thì (d1) tạo với (d2) hai góc nhọn và hai góc tù, khi đó ta có thể xác đinh phương trình đường phân giác của góc nhọn hoặc góc tù nhờ kết quả trong bảng sau:
- $\overrightarrow n $1(A1, B1), $\overrightarrow n $2(A2, B2) theo thứ tự là vtpt của (d1), (d2).
- t1, t2 theo thứ tự là khoảng cách đại số từ M(x, y) tới (d1), (d2).
1. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R có phương trình: (C): (x - a)$^2$ + (y - b)$^2$ = R$^2$. (1)
Vậy, ta được: (C): $\left\{ \begin{array}{l}Tam\,\,\,I(a;b)\\B\,\,kinh\,\,R\end{array} \right.$ ⇔ (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Chú ý: Ta có:
- Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình x$^2$ + y$^2$ = R$^2$.
- Đường tròn đơn vị có phương trình x$^2$ + y$^2$ = 1.
Định lý 2: Trong mặt phẳng Oxy, đường cong (C) có phương trình (C): x$^2$ + y$^2$ - $^2$ax - $^2$by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0 (2)
là phương trình của đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} - c} $.
3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Định lý 3: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M(x0; y0) của đường tròn (C): (x - a)$^2$ + (y - b)$^2$ = R$^2$ có phương trình: (d): (x - a)(x$_0$ - a) + (y - b)(y$_0$ - b) = R$^2$. (5)
Chú ý:
- Phương trình (5) được gọi là phương trình phân đôi toạ độ theo quy tắc
(x - a)$^2$ = (x - a).(x - a) thay bằng (x - a).(x$_0$ - a).
(y - b)$^2$ = (y - b)(y - b) thay bằng (y - b)(y$_0$ - b).
- Nếu (C) có phương trình tổng quát: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ $_0$ thì tiếp tuyến (d) có phương trình: (d): x.x$_0$ + y.y$_0$ - a(x + x$_0$) - b(y + y$_0$) + c = $_0$. dựa theo quy tắc:
x$^2$ = x.x thay bằng x.x$_0$.
y$^2$ = y.y thay bằng y.y$_0$.
2ax = a(x + x) thay bằng a(x + x$_0$).
2by = b(y + y) thay bằng a(y + y$_0$).
- Trong trường hợp tổng quát, đường thẳng (d) tiếp xúc (là tiếp tuyến) với đường tròn (C) có tâm I và bán kính R khi và chỉ khi: d(I, (d)) = R.
Cho đường tròn (C) có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ - 2ax - 2by + c = 0, với a$^2$ + b$^2$ - c ≥ 0.
Phương tích của điểm M(x0, y0) đối với đường tròn (C) được xác định bởi: P$_{M/(C)}$ = $x_0^2$ + $y_0^2$ - 2ax$_0$ - 2by$_0$ + c
Từ giá trị về dấu của PM/(O) ta xác định được vị trí của điểm M đối với (C)
- Nếu P$_{M/(C)}$ > 0 ⇔ M ở ngoài đường tròn (C).
- Nếu P$_{M/(C)}$ = 0 ⇔ M ở trên đường tròn (C).
- Nếu P$_{M/(C)}$ < 0 ⇔ M ở trong đường tròn (C).
Cho hai đường tròn không đồng tâm (C1) và (C2) có phương trình:
(C1): x$^2$ + y$^2$ - $^2$a$_1$x - $^2$b$_1$y + c$_1$ = 0, với $a_1^2 + b_1^2 - {c_1}$≥ 0
(C2): x$^2$ + y$^2$ - $_2$a$_2$x - $_2$b$_2$y + c$_2$ = 0, với $a_2^2 + b_2^2 - {c_2}$≥ 0
Khi đó tập hợp những điểm có cùng phương tích với hai đường tròn (C1) và (C2) là đường thẳng (d), gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (C1), (C2) có phương trình: (d): 2(a$_1$ - a$_2$)x + 2(b$_1$ - b$_2$)y - c$_1$ + c$_2$ = 0.
III. ELÍP
6. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Elíp (E) có hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) và có tổng hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y)∈(E) là 2a (a > c) có phương trình:
(E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với b$^2$ = a$^2$ - c$^2$.
7. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ELÍP
Elíp (E) có phương trình chính tắc: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
được chuyển về dạng tham số: (E): $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{a} = \sin t\\\frac{y}{b} = \cos t\end{array} \right.$, t ∈ [0, 2π) ⇔ (E): $\left\{ \begin{array}{l}x = a\sin t\\y = b\cos t\end{array} \right.$, t ∈ [0; 2π). (*)
Phương trình (*) được gọi là phương trình tham số dạng lượng giác của Elíp (E).
Ta biết rằng, nếu đặt z = tan$\frac{t}{2}$ thì: sint = $\frac{{2z}}{{1 + {z^2}}}$ và cost = $\frac{{1 - {z^2}}}{{1 + {z^2}}}$, do đó (*) có thể được viết dưới dạng:
(E):$\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2az}}{{1 + {z^2}}}\\y = \frac{{b(1 - {z^2})}}{{1 + {z^2}}}\end{array} \right.$, z ∈ \(\mathbb{R}\). (**)
Phương trình (**) được gọi là phương trình tham số dạng đại số của (E).
8. HÌNH DẠNG CỦA ELÍP
Với Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b > 0.
a. Phương trình của (E) có bậc chẵn đối với x và y nên:
- Nếu điểm M(x; y)∈(E) thì các điểm M$_1$( - x; y), M$_2$( - x; - y) và M$_3$(x; - y) cũng thuộc (E).
- (E) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng.
- (E) ∩ Ox = {A1, A2} có toạ độ là A$_1$(-a; 0), A$_2$(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn của (E) có độ dài bằng 2a.
- (E) ∩ Oy = {B1, B2} có toạ độ là B1(0; -b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của (E) có độ dài bằng 2b.
- Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Elíp (E)
c. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x = ± a và các đường thẳng y = ±b được gọi là hình chữ nhật cơ sở của (E). Vậy Elíp (E) nằm trong hình chữ nhật có tâm đối xứng O, có các kích thước là 2a, 2b.
d. Từ M(x; y) ∈ (E) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} \le 1\\\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} \le 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}|x| \le a\\|y| \le b\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} - a \le x \le a\\ - b \le y \le b\end{array} \right.$.
9. TÂM SAI CỦA ELÍP
Tâm sai của Elíp là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của Elíp.
- Đối với Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a > b thì e = $\frac{c}{a}$.
- Đối với Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với a < b thì e = $\frac{c}{b}$.
- Mọi Elíp đều có tâm sai nhỏ hơn 1.
- Tâm sai e = 0 suy ra c = 0 ⇔ a = b
IV. HYPEBOL
10. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Hypebol (H) có hai tiêu điểm F1( - c; 0), F2(c; 0) và có hiệu hai bán kính qua tiêu ứng với điểm tuỳ ý M(x; y) ∈ (H) là 2a (a > c) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với b$^2$ = c$^2$ - a$^2$.
Chú ý: Điểm M(x; y) ∈ (H) luôn có:
a. F$_1$M = $\frac{{cx}}{a}$ + a và F$_2$M = $\frac{{cx}}{a}$ - a với x > 0.
b. F$_1$M = - $\frac{{cx}}{a}$ - a và F$_2$M = -$\frac{{cx}}{a}$ + a với x < 0.
11. HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL
Với Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
c. Phương trình của (H) có bậc chẵn đối với x và y nên:
- Nếu điểm M(x; y) ∈ (H) thì các điểm M$_1$(-x; y), M$_2$(-x; -y) và M$_3$(x; -y) cũng thuộc (H).
- (H) nhận các trục tọa độ là trục đối xứng và gốc O làm tâm đối xứng.
- (H) ∩ Ox = {A1, A2} có toạ độ là A$_1$(-a; 0), A$_2$(a; 0) và đoạn thẳng A1A2 gọi là trụ c thực của (H) có độ dài bằng 2a.
- (H) không cắt Oy, đặt B1(0; -b); B2(0; b) và đoạn thẳng B1B2 gọi là trục ảo của (H) có độ dài bằng 2b.
- Vậy trục thực của Hyperbol là trục đối xứng cắt Hyperbol, trục ảo là trục đối xứng không cắt Hyperbol.
- Bốn điểm A1, A2, B1, B2 gọi là bốn đỉnh của Hypebol (H).
e. Hình chữ nhật cơ sở: hình chữ nhật có các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng x = ±a và các đường thẳng y = ± b được gọi là hình chữ nhật cơ sở của (H).
f. Từ M(x; y) ∈ (H) suy ra: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$ ≥ 1 ⇔ |x| ≥ a ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x \ge a\\x \le - a\end{array} \right.$.
Như vậy Hyperbol (H) là tập hợp của hai tập con không giao nhau.
- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x ≥ a gọi là nhánh bên phải của Hyperbol.
- Tập con của (H) chứa những điểm M(x; y) thoả mãn x ≤ -a gọi là nhánh bên trái của Hyperbol.
- Hai nhánh này đối xứng nhau qua trục ảo và cả hai đều nhận trục thực làm trục đối xứng.
- Khi x→ +∞: (H) có tiệm cận y = $\frac{b}{a}$x.
- Khi x→ -∞: (H) có tiệm cận y = -$\frac{b}{a}$x.
b. Cách dựng Hyperbol (H)
- Xác định vị trí các điểm A$_1$(-a; 0) ;A$_2$(a; 0), B1(0; -b), B2(0; b) trên hệ toạ độ.
- Dựng các đường thẳng x = ±a và y = ±b cắt nhau tại P, Q, R, S.
- Hình chữ nhật PQRS có kích thước 2a, 2b gọi là hình chữ nhật cơ sở của Hyperbol.
- Kẻ hai đường tiệm cận là hai đương chéo của hình chữ nhật cơ sở.
- Dựa trên hai đỉnh A1, A2 và hai đường tiệm cận để vẽ Hyperbol.
Định nghĩa 3. Hai Hyperbol có phương trình: (H1): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ và (H2): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$ = -1
gọi là hai Hyperbol liên hợp.
- Có chung các đượng tiệm cận và hình chữ nhật cơ sở.
- Có các tiêu điểm và đỉnh khác nhau.
13. TÂM SAI CỦA HYPEBOL
Tâm sai của Hypebol là số thực e bằng tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực của Hypebol.
- Đối với Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ thì e = $\frac{c}{a}$.
- Đối với Hypebol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1$ thì e = $\frac{c}{b}$.
V. PARABOL
14. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA PARABOL
Định lý 1: Trong mặt phẳng Oxy, Parabol (P) có hai tiêu điểm F($\frac{p}{2}$; 0) và đường chuẩn (d): x = -$\frac{p}{2}$ có phương trình (P): y$^2$ = 2px.
Chú ý: Điểm M(x; y) ∈ (P) luôn có FM = x + $\frac{p}{2}$.
15. HÌNH DẠNG CỦA PARABOL
Với Parabol (P) có phương trình: (P): y$^2$ = 2px, với p > 0.
- Đỉnh O(0; 0),
- Tiêu điểm F ($\frac{p}{2}$; 0),
- Đường chuẩn (d): x = - $\frac{p}{2}$,
- Parabol, nhận Ox làm trục đối xứng, đồ thị ở bên phải Ox.
(P): y$^2$ = - 2px,
(P): x$^2$ = ± 2py.
VI. BA ĐƯỜNG CÔNÍC
Định nghĩa: Đường chuẩn của Elíp (Hyperbol) ứng với tiêu điểm F$_i$ (i = 1,2) là đường thẳng (Δ$_i$) (i = 1, 2) vuông góc với trục đối xứng chứa các tiêu điểm nằm về cùng một phía với F$_i$ đối với trục đối xứng còn lại và cách tâm của Elíp (Hyperbol) một đoạn $\frac{a}{e}$ với e là tâm sai và a là độ dài nửa trục lớn (trục thực).
a. Với Elíp (E) có phương trình (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$với a > b, ta có:
- Ứng với tiêu điểm F1(-c; 0) là đường chuẩn (Δ$_1$): x = -$\frac{a}{e}$.
- Ứng với tiêu điểm F2(c; 0) là đường chuẩn (Δ$_2$): x = $\frac{a}{e}$.
- Ứng với F1(-c; 0) là đường chuẩn (Δ$_1$): x = -$\frac{a}{e}$.
- Ứng với F2(c; 0) là đường chuẩn (Δ$_2$): x = $\frac{a}{e}$.
Đường chuẩn của cả ba đường Conic đều có tình chất chung sau đây:
Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường Conic là khoảng cách từ điểm đó tới tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai e của đường Conic đó.
Định nghĩa 2: Đường Côníc (C) là tập hợp điểm có tỷ số các khoảng cách từ đó đến một điểm cố định và đến một đường thẳng cố định không đi qua điểm cố định ấy, bằng một hằng số dương e.
Hằng số dương e chính là tâm sai của đường Côníc (C).
- Nếu e < 1 : (C) là Elíp.
- Nếu e = 1 : (C) là Parabol.
- Nếu e > 1 : (C) là Hyperbol.