Phương pháp thực hiện
Với Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: Điểm M(x, y)∈(H) luôn có:
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm.
Với Hypebol (H) có phương trình: (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
- Bước 1: Lấy điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(H) suy ra $\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} - \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}$ = 1.
- Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
- Bước 1: Chuyển phương trình Hypebol về dạng tham số: (H): $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{{\cos t}}\\y = btgt\end{array} \right.$, t∈[0, 2π)\{$\frac{\pi }{2}$, $\frac{{3\pi }}{2}$}.
- Bước 2: Điểm M∈(H) ⇒ M(a.sint, b.cost).
- Bước 3: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: Điểm M(x, y)∈(H) luôn có:
- a. F$_1$M = $\frac{{cx}}{a}$ + a và F$_2$M = $\frac{{cx}}{a}$ - a với x > 0.
- b. F$_1$M = - $\frac{{cx}}{a}$ - a và F$_2$M = - $\frac{{cx}}{a}$ + a với x < 0.
3. Nếu điểm phải tìm là giao của Hypebol với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm.
Thí dụ 1. Cho Hyperbol (H): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Tìm điểm M trên (H) sao cho độ dài F$_1$M (tiêu điểm F$_1$( - c, 0)) ngắn nhất, dài nhất.
Giải
Lấy M(x$_0$, y$_0$)∈(H), suy ra: $\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} - \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}} = 1$ ⇔ $x_0^2$ = a2(1 + $\frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}$)≥a2 ⇒ |x$_0$|≥a.Ta có: F$_1$M = |$\frac{{c{x_0}}}{a}$ + a|≥|$ - \frac{{ca}}{a}$ + a| = | - c + a| = c - a.
Vây, F$_1$M$_{Min}$ = c - a, đạt được khi M≡A$_1$(-a, 0).
Thí dụ 2. Cho Hyperbol (H): $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$. Tìm điểm M trên (H) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên.
b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 90$^0$.
Giải
a. Ta chỉ cần tìm các cặp (x, y) nguyên không âm, khi đó các nghiệm còn lại là (x, -y), (-x, y), (-x, -y). Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}9{x^2} - 16{y^2} = 144\\x,y \in {Z^ + }\end{array} \right.$⇔$\left\{ \begin{array}{l}(3x + 4y)(3x - 4y) = 144\\x,y \in {Z^ + }\\3x + 4y \ge 3x - 4y\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.$.
Vậy có hai điểm trên (H) có toạ độ nguyên là M9( - 4, 0), M10(4, 0).
b. MF$_1$⊥MF$_2$ ⇒ M thuộc đường tròn (C) đường kính F$_1$F$_2$ = 10 có phương trình: (C): x$^2$ + y$^2$ = 25.
Vậy toạ độ điểm M là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1\\x_0^2 + y_0^2 = 1\end{array} \right.$
ta được bốn điểm: M1($\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, $\frac{9}{5}$), M2(-$\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, $\frac{9}{5}$), M3($\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, -$\frac{9}{5}$), M4(-$\frac{{4\sqrt {34} }}{5}$, -$\frac{9}{5}$),
Sửa lần cuối: