Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình tròn (C) có tâm A, đường kính bằng 14 (hình vẽ bên). Tính thể tích V của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC.

A. \(V = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
B. \(V = \frac{{343\left( {12 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
C. \(V = \frac{{343\left( {6 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)
D. \(V = \frac{{343\left( {7 + \sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)

Khối tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình quanh trục AC bao gồm:
+ Khối cầu có bán kính:
\(R = 7 \Rightarrow {V_C} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{1372}}{3}\pi .\)
+ Khối nón có chiều cao \(h = \frac{{AC}}{2}\) và bán kính đường tròn đáy \(r = \frac{{B{\rm{D}}}}{2}.\)
\({V_N} = \frac{1}{3}\pi {{\rm{r}}^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{{7\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \frac{{343\sqrt 2 }}{{12}}\pi .\)
+ Trừ đi phần giao của khối cầu và khối nón chính là chỏm cầu có chiều cao là \(h = AB - \frac{{AC}}{2} \Rightarrow {V_G} = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\left( {7 - \frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{6}} \right) = \pi {\left( {\frac{{14 - 7\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}.\frac{{28 + 7\sqrt 2 }}{6}\)
Thể tích của khối tròn xoay cần tìm là \(V = {V_C} + {V_N} - {V_G} = \frac{{343\left( {4 + 3\sqrt 2 } \right)\pi }}{6}.\)