Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với đáy, SA = a\sqrt 2. Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. \(V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\)
B. \(V = \frac{{ }}{3}\pi {a^3}\)
C. \(V = 4\pi {a^3}\)
D. \(V = \frac{{4\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\)

Gọi O là trung điểm của cạnh SC mà \(\Delta SAC\) vuông tại A \(\Rightarrow OS = OC = OA\)
Từ \(\left\{ \begin{array}{l} BC \bot AB\\ BC \bot SA \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow OS = OC = OB!\)
Từ \(\left\{ \begin{array}{l} CD \bot A{\rm{D}}\\ C{\rm{D}} \bot {\rm{S}}A \end{array} \right. \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot {\rm{SD}} \Rightarrow OS = OC = OD\)
Do đó \(OS = OA = OB = OC = OD \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi O{S^3}\)
Ta có
\(SO = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {S{A^2} + A{B^2} + B{C^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt {2{a^2} + {a^2} + {a^2}} = a \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {a^3}\)