Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a. Biết \(\widehat {SBA} = \widehat {SCA} = {90^0}\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{{2a}}{3}.\) Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. \(S = 6\pi {a^2}.\)
B. \(S = 4\pi {a^2}.\)
C. \(S = 9\pi {a^2}.\)
D. \(S = 8\pi {a^2}.\)

Gọi I là trung điểm của SA, H là trung điểm của BC
Do \(\widehat {SBA} = {90^0} \Rightarrow IS = IA = IB\) và \(\widehat {SCA} = {90^0} \Rightarrow IA = IS = IC\)
\( \Rightarrow IA = IB = IC = IS \Rightarrow I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp
Gọi M là trung điểm của \(AB \Rightarrow MH//AC,MI//SB\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot MH\\AB \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (MIH) \Rightarrow AB \bot IH(1)\)
Mà IB=IC và H là trung điểm của \(BC \Rightarrow IH \bot BC(2)\)
Từ (1),(2) suy ra \(IH \bot (ABC)\)
Dựng hình bình hành \(ABCD \Rightarrow AD//BC\)
\( \Rightarrow d\left( {SA,BC} \right) = d\left( {BC,(SAD)} \right) = d\left( {H,(SAD)} \right)\)
Kẻ \(HE \bot AD,HF \bot IE\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot HE\\AD \bot IH\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot (IHE)\)
\( \Rightarrow AD \bot HF\) mà \(HF \bot IE \Rightarrow HF \bot (SAD) \Rightarrow HF = d\left( {H,(SAD)} \right) = \frac{{2a}}{3}\)
Ta có \(\frac{1}{{H{F^2}}} = \frac{1}{{H{I^2}}} + \frac{1}{{H{E^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{H{F^2}}} - \frac{1}{{H{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow HI = a\)
Ta có \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = a\sqrt 5 \Rightarrow HB = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 5 }}{2} \Rightarrow R = IB = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \frac{{3a}}{2}\)
Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)^2} = 9\pi {a^2}.\)