Tìm tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Xác định điểm Thỏa điều Kiện Cho Trước|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {3;1;0} \right),B\left( {0; - 1;0} \right),C\left( {0;0; - 6} \right)\). Giả sử tồn tại các điểm A’, B’, C’ sao cho \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 .\) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác A’B’C’.
A. G(1;0;-2)
B. G(2;-3;0)
C. G(3;-2;0)
D. G(3;-2;1)

Gọi G, G’ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’. Với mọi điểm T trong không gian có:
\(\left( 1 \right):\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {TA} - \overrightarrow {TA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TB} - \overrightarrow {TB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {TC} - \overrightarrow {TC'} } \right) = \overrightarrow 0\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Hệ thức (2) chứng tỏ: Nếu \(T \equiv G\) tức là \(\overrightarrow {TA} + \overrightarrow {TB} + \overrightarrow {TC} = \overrightarrow 0\) thì ta cũng có \(\overrightarrow {TA'} + \overrightarrow {TB'} + \overrightarrow {TC'} = \overrightarrow 0\) hay \(T \equiv G'\) hay (1) là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Ta có tọa độ của G là: \(G = \left( {\frac{{3 + 0 + 0}}{3};\frac{{1 - 1 + 0}}{3};\frac{{0 + 0 - 6}}{3}} \right) = \left( {1;0; - 2} \right).\)
Đó cũng là tọa độ trọng tâm G’ của \(\Delta A'B'C'.\)