Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng...

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Xác định điểm Thỏa điều Kiện Cho Trước|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - y + z - 3 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(S = M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\) \
B. \(M\left( {1;1;3} \right)\)
C. \(M\left( {2;1;2} \right)\)
D. \(M\left( {0;2;1} \right)\)

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có \(I\left( {0;2;1} \right)\)
Vì MI là trung tuyến của MAB nên \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \frac{{A{B^2}}}{4}\)
\( \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}.\)
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu của I lên (P).
Vtpt của (P) là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P) là\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)
Khi đó \(M = d \cap \left( P \right)\). Viết hệ phương trình giao điểm của d và (P) ta có: \(t = \frac{4}{3}\)
Vậy tọa độ \(M\left( {\frac{4}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\).