Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên \(\Delta \)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Xác định điểm Thỏa điều Kiện Cho Trước|
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {2; - 3;1} \right)\) lên \(\Delta \).
A. \(H\left( { - 1; - 2;0} \right)\)
B. \(H\left( {1; - 3;2} \right)\)
C. \(H\left( { - 3; - 1; - 2} \right)\)
D. \(H\left( {3; - 4;4} \right)\)

Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Mà \(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {2t - 1; - t - 2;2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH} = \left( {2t - 3;1 - t;2t - 1} \right)\)
VTCP của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2; - 1;2} \right)\) và \(AH \bot \Delta \) nên\(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0\)
\( \Rightarrow 2\left( {2t - 3} \right) + t - 1 + 2\left( {2t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {1; - 3;2} \right)\)