Toán 12 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận

Đạo Hàm Và ứng Dụng|Khảo Sát Sự Biến Thiên Và Vẽ đồ Thị Hàm Số|Tiệm Cận|
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang?
A. \(m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
B. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2};\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
C. \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)
D. \(m \in \left\{ { - \frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)

Dễ thấy đồ thị hàm số luôn nhận đường thẳng y = 0 làm tiệm cận ngang với mọi giá trị của m.
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{{x^2} - 3x + {m^2}}}\) có một tiệm cận đứng thì phương trình:
\({x^2} - 3x + {m^2} = 0(*)\) có duy nhất nghiệm khác 2 hoặc có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
+ TH1: \(\Delta = 9 - 4m,\) Để (*) có duy nhất nghiệm thì: \(9 - 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \pm \frac{3}{2}.\)
Khi đó phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{3}{2} \ne 2.\)
+ TH2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 2.
\(\left\{ \begin{array}{l} 9 - 4{m^2} > 0\\ 4 - 6 + {m^2} = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < m < \frac{3}{2}\\ m = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\)
Vậy tập hớp các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là: \(m \in \left\{ {\frac{3}{2}; - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}\)