Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Mặt nón, mặt trụ, Mặt cầu| Mặt Cầu, Diện Tích Mặt Cầu, Thể Tích Khối Cầu|
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác đều và mp(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. \(V = \frac{{7\sqrt {24} }}{{24}}\pi {a^3}\)
B. \(V = \frac{{5\sqrt {30} }}{{27}}\pi {a^3}\)
C. \(V = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\)
D. \(V = \frac{{7\sqrt {21} }}{{54}}\pi {a^3}\)

Gọi H là trung điểm AD khi đó SH vuông góc với (ABCD).
Gọi O là trọng tậm tam giác SAB Gọi I là giao điểm của AC và BD. Từ I kẻ đương thẳng vuông góc (ABCD), đường thẳng cắt đường thẳng đi qua O và vuông góc (SAD) tại M. M là tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD .
Ta có \( = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OH = \frac{1}{3}SH = \frac{1}{6}a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow MI = OH = \frac{1}{6}a\sqrt 3 \)
\(BI = \frac{1}{2}BB' = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow r = MB = \sqrt {M{I^2} + I{B^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 3 }}\)
\( \Rightarrow V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 3 }}} \right)^3} = \pi \frac{{7{a^3}\sqrt {21} }}{{54}}\)