Cho điểm \(I(0;0;3)\)và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + t\end{array} \right..\) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông là:
A.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)
B.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{8}{3}.\)
C.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{3}.\)
D.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{3}.\)
A.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{3}{2}.\)
B.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{8}{3}.\)
C.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{2}{3}.\)
D.\({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{4}{3}.\)
Gọi \(H\left( { - 1 + t;2t;2 + t} \right) \in d\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) lên đường thẳng d \( \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 1 + t;2t; - 1 + t} \right)\)
Ta có vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2;1} \right)\) và \(IH \bot d\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{a_d}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + t + 4t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow - 2 + 6t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow IH = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Vì tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\)và \(IA = IB = R\). Suy ra tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\), do đó bán kính:
$R = IA = AB\cos {45^0} = 2IH.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 IH = \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{8}{3}\).
Lựa chọn đáp án B.
Ta có vectơ chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2;1} \right)\) và \(IH \bot d\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {IH} .\overrightarrow {{a_d}} = 0 \Leftrightarrow - 1 + t + 4t - 1 + t = 0 \Leftrightarrow - 2 + 6t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow H\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)\)
\( \Rightarrow IH = \sqrt {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)
Vì tam giác \(IAB\) vuông tại \(I\)và \(IA = IB = R\). Suy ra tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\), do đó bán kính:
$R = IA = AB\cos {45^0} = 2IH.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 IH = \sqrt 2 .\frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}$
Vậy phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \frac{8}{3}\).
Lựa chọn đáp án B.