Cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - z + 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {0;0;4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;0;0} \right)\). Phương trình mặt cầu đi qua \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:
A.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6.\)
B.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6.\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6.\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6.\)
A.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6.\)
B.\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6.\)
C.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6.\)
D.\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6.\)
Gọi (S) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).
Phương mặt cầu (S) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
(S) qua 3 điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\), ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\ - 8c + d = - 16\\ - 4{\rm{a + d = - 4}}\\\frac{{\left| {2{\rm{a}} + b - c + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\c = 2\\a = 1\\{\left( {2 + b - 2 + 5} \right)^2} = 6\left( {{1^2} + {b^2} + {2^2} - 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\c = 2\\a = 1\\5{b^2} - 10b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 0\end{array} \right..\)
Vậy (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\).
Phương mặt cầu (S) có dạng: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)
(S) qua 3 điểm \(O,{\rm{ }}A,{\rm{ }}B\), ta có hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\ - 8c + d = - 16\\ - 4{\rm{a + d = - 4}}\\\frac{{\left| {2{\rm{a}} + b - c + 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 1} }} = R\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\c = 2\\a = 1\\{\left( {2 + b - 2 + 5} \right)^2} = 6\left( {{1^2} + {b^2} + {2^2} - 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 0\\c = 2\\a = 1\\5{b^2} - 10b + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 0\end{array} \right..\)
Vậy (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 6\).