Cho tứ diện S.ABC, M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho \(MA = 2SM\), \(SN = 2NB\), (α) là mặt phẳng qua MN và song song với SC. Kí hiệu \(({H_1})\)và \(({H_2})\) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng (α) , trong đó, \(({H_1})\)chứa điểm S, \(({H_2})\) chứa điểm a; \({V_1}\) và \({V_2}\) lần lượt là thể tích của \(({H_1})\) và \(({H_2})\). Tính tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\).
A. \(\frac{4}{5}\)
B. \(\frac{5}{4}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{4}{3}\)
Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC.
Gọi p, q lần lượt là giao điểm của (α) với các đường thẳng BC, AC.
Ta có \(NP{\rm{//}}MQ{\rm{//}}SC\). Khi chia khối \(({H_1})\)bởi mặt phẳng (QNC), ta được hai khối chóp \(N.SMQC\)và \(N.QPC\).
Ta có: \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{{d(N,(SAC))}}{{d(B,(SAC))}} \cdot \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{SAC}}}}\) ;
\(\frac{{d(N,(SAC))}}{{d(B,(SAC))}} = \frac{{NS}}{{BS}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{{S_{AMQ}}}}{{{S_{ASC}}}} = {\left( {\frac{{AM}}{{AS}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{ASC}}}} = \frac{5}{9}\) .
Suy ra \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{{10}}{{27}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{d(N,(QPC))}}{{d(S,(ABC))}} \cdot \frac{{{S_{QPC}}}}{{{S_{ABC}}}}\\ = \frac{{NB}}{{SB}} \cdot \frac{{CQ}}{{CA}} \cdot \frac{{CP}}{{CB}} = = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{{27}}\end{array}\)
\(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} + \frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{10}}{{27}} + \frac{2}{{27}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_1} + {V_2}}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 5{V_1} = 4{V_2}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{5}\)
A. \(\frac{4}{5}\)
B. \(\frac{5}{4}\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{4}{3}\)
Gọi p, q lần lượt là giao điểm của (α) với các đường thẳng BC, AC.
Ta có \(NP{\rm{//}}MQ{\rm{//}}SC\). Khi chia khối \(({H_1})\)bởi mặt phẳng (QNC), ta được hai khối chóp \(N.SMQC\)và \(N.QPC\).
Ta có: \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{{d(N,(SAC))}}{{d(B,(SAC))}} \cdot \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{SAC}}}}\) ;
\(\frac{{d(N,(SAC))}}{{d(B,(SAC))}} = \frac{{NS}}{{BS}} = \frac{2}{3}\); \(\frac{{{S_{AMQ}}}}{{{S_{ASC}}}} = {\left( {\frac{{AM}}{{AS}}} \right)^2} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{S_{SMQC}}}}{{{S_{ASC}}}} = \frac{5}{9}\) .
Suy ra \(\frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{{10}}{{27}}\)
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{d(N,(QPC))}}{{d(S,(ABC))}} \cdot \frac{{{S_{QPC}}}}{{{S_{ABC}}}}\\ = \frac{{NB}}{{SB}} \cdot \frac{{CQ}}{{CA}} \cdot \frac{{CP}}{{CB}} = = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{{27}}\end{array}\)
\(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{V_{N.SMQC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} + \frac{{{V_{N.QPC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{10}}{{27}} + \frac{2}{{27}} = \frac{4}{9} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_1} + {V_2}}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 5{V_1} = 4{V_2}\)\( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{4}{5}\)