Dạng 4: Điểm và elíp

Học Lớp

Administrator
Thành viên BQT
#1
Phương pháp thực hiện
Với Elíp (E) có phương trình: (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Lấy điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(E) ⇒ $\frac{{x_0^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_0^2}}{{{b^2}}}$ = 1.
  • Bước 2: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
Cách 2: Ta thực hiện theo các bước:
  • Bước 1: Chuyển phương trình Elíp về dạng tham số: (E):$\left\{ \begin{array}{l}x = a\sin t\\y = b\cos t\end{array} \right.$, t∈[0, 2π).
  • Bước 2: Điểm M∈(E) ⇒ M(a.sint, b.cost).
  • Bước 3: Dựa vào điều kiện K có thêm được điều kiện cho x$_0$, y$_0$. Từ đó suy ra toạ độ điểm M.
Chú ý: Ta cần lưu ý các trường hợp sau:
  • 1. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về bán kính qua tiêu điểm ta sử dụng công thức tính bán kính qua tiêu điểm theo toạ độ điểm đó là: F1M = a + $\frac{{c{x_0}}}{a}$ và F2M = a - $\frac{{c{x_0}}}{a}$.
  • 2. Nếu điểm phải tìm thoả mãn điều kiện về góc ta đưa bài toán về xét hệ thức lượng trong tam giác.
  • 3. Nếu điểm phải tìm là giao của Elíp với một đường khác ta xét hệ phương trình tương giao để tìm toạ độ giao điểm.

Thí dụ 1. Cho Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1$. Tìm các điểm M thuộc Elíp (E) sao cho:
a. Có toạ độ nguyên thuộc (E).
b. Có tổng hai toạ độ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .
Điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(E) ⇒ $\frac{{x_0^2}}{2} + \frac{{y_0^2}}{8} = 1$. (1)
a. Nhận xét rằng nếu điểm M(x$_0$, y$_0$)∈(E) ⇒ M$_1$(-x$_0$, y$_0$), M$_2$(-x$_0$, - y$_0$) và M$_3$(x$_0$, -y$_0$) cũng thuộc (E). Do vậy ta chỉ cần xác định các điểm M$_0$ có toạ độ nguyên dương.
Xét phương trình (1) với ẩn y$_0$ : ( 1 ) ⇔ $y_0^2$ = 8 - 4$x_0^2$.
Phương trình có nghiệm ⇔ 8 - 4$x_0^2$>0 ⇔ 0 < x$_0$ ≤ $\sqrt 2 $ ⇒ x$_0$ = 1 và y$_0$ = 2 ⇒ M0(1, 2) ∈ (E).
Từ M0 suy ra các điểm M$_1$(-1, 2), M$_2$(-1, -2) và M$_3$(1, -2) cũng thuộc (E).
Vậy (E) có 4 điểm M0, M$_1$, M$_2$, M$_3$ có toạ độ nguyên.

b. Ta có: (x$_0$ + y$_0$)$^2$ = ${\left( {\sqrt 2 .\frac{{{x_0}}}{{\sqrt 2 }} + \sqrt 8 .\frac{{{y_0}}}{{\sqrt 8 }}} \right)^2}$≤ (2 + 8) $\left( {\frac{{x_0^2}}{2} + \frac{{y_0^2}}{8}} \right)$ = 10 ⇔ -$\sqrt {10} $ ≤ x$_0$ + y$_0$ ≤ $\sqrt {10} $.
dấu bằng xảy ra khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x_0}/\sqrt 2 }}{{{y_0}/\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 8 }}\\\frac{{x_0^2}}{2} + \frac{{y_0^2}}{8} = 1\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = 4{x_0}\\\frac{{x_0^2}}{2} + \frac{{y_0^2}}{8} = 1\end{array} \right.$⇒ $\left\{ \begin{array}{l}{M_4}(\frac{{\sqrt {10} }}{5},\frac{{4\sqrt {10} }}{5})\\{M_5}( - \frac{{\sqrt {10} }}{5},\, - \frac{{4\sqrt {10} }}{5})\end{array} \right.$.
Vậy, ta được:
  • (x$_0$ + y$_0$)$_{Max}$ = $\sqrt {10} $, đạt được tại M4.
  • (x$_0$ + y$_0$)$_{Min}$ = -$\sqrt {10} $, đạt được tại M5.
Thí dụ 2. Cho Elíp (E): $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Từ điểm A∈(E) có toạ độ dương, dựng hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong (E) có các cạnh song song với các trục toạ độ. Xác định toạ độ của A để hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất.
Ta có thể thực hiện theo hai cách sau:
Cách 1: Giả sử A(xA, yA)∈(E) với xA, yA>0, suy ra: $\frac{{x_A^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_A^2}}{{{b^2}}} = 1$.
Khi đó: S$_{ABCD}$ = S$_{OMAN}$ = 4x$_0$y$_0$ = 2ab.2$\frac{{{x_A}}}{a}.\frac{{{y_A}}}{b}$≤2ab. $\frac{{x_A^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_A^2}}{{{b^2}}}$ = 2ab.
Vậy S$_{max}$ = 2ab, đạt được khi: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x_A^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_A^2}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{x_A}}}{a} = \frac{{{y_A}}}{b}\end{array} \right.$ ⇒ A($\frac{a}{{\sqrt 2 }}$, $\frac{b}{{\sqrt 2 }}$).

Cách 2: Chuyển phương trình Elíp về dạng tham số: (E):$\left\{ \begin{array}{l}x = a.\sin t\\y = b.\cos t\end{array} \right.$, t∈[0, 2π).
Điểm A∈(E) và thuộc góc phần tư thứ nhất ⇒ M(a.sint, b.cost), t∈(0, $\frac{\pi }{2}$).
Khi đó: S$_{ABCD}$ = S$_{OMAN}$ = 4x$_0$y$_0$ = 4a.sint.b.cost = 2absin2t ≤ 2ab.
Vậy, ta được S$_{max}$ = 2ab, đạt được khi: sin2t = 1 ⇔ t = $\frac{\pi }{4}$ ⇒ A($\frac{a}{{\sqrt 2 }}$,$\frac{b}{{\sqrt 2 }}$).
 
Sửa lần cuối:

Bình luận bằng Facebook